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Lexikon der Mathematik: Ebene

zweidimensionaler affiner Unterraum des ℝ3. Ist U ⊆ ℝ3 ein zweidimensionaler Teilvektorraum von ℝ3, so heißt der um einen Vektor x0 verschobene Raum x0 + U eine Ebene. Jede Ebene läßt sich unter Verwendung geeigneter dreidimensionaler Vektoren x0, x1 und x2 in der parametrisisierten Form beschreiben durch die Gleichung

\begin{eqnarray}e={x}_{0}+\lambda \cdot {x}_{1}+\mu \cdot {x}_{2},\end{eqnarray}

wobei die Werte λ, μ reelle Parameter sind, die die gesamte reelle Achse durchlaufen. In der parameterfreien Form lautet die Ebenengleichung

\begin{eqnarray}ax+by+cz=d,\end{eqnarray}

wobei die Ebene aus genau den Punkten (x, y, z) besteht, die diese Gleichung erfüllen. Ist dagegen ein Punkt (x0, y0, z0) gegeben, durch den die Ebene laufen soll, so kann man sie auch beschreiben durch die Gleichung

\begin{eqnarray}a(x-{x}_{0})+b(y-{y}_{0})+c(z-{z}_{0})=0.\end{eqnarray}

Eine Ebene wird durch drei Punkte im Raum eindeutig bestimmt. Sind drei Punkte A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3) und C = (c1, c2, c3) gegeben, so kann man unter Verwendung der zugehörigen Ortsvektoren

\begin{eqnarray}a=\left(\begin{array}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{array}\right),\,b=\left(\begin{array}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{array}\right),\,c=\left(\begin{array}{c}{c}_{1}\\ {c}_{2}\\ {c}_{3}\end{array}\right)\end{eqnarray}

die Ebenenpunkte z mit der Gleichung

\begin{eqnarray}(z-a)\cdot ((b-a)\times (c-a))=0\end{eqnarray}

bestimmen. Dabei bezeichnet · das Skalarprodukt und × das Vektorprodukt auf ℝ3.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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