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Lexikon der Mathematik: eigentliche-holomorphe-Abbildung

wichtiger Begriff in der Theorie der Überlagerungen.

Ein lokalkompakter Raum ist ein Hausdorffraum, in dem jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt. Eine stetige Abbildung f : XY zwischen zwei lokalkompakten Räumen heißt eigentlich, wenn das Urbild jeder kompakten Menge kompakt ist. Dies ist z. B. stets erfüllt, wenn X kompakt ist. Eine eigentliche Abbildung ist abgeschlossen, d. h. das Bild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen. Dies folgt daraus, daß in einem lokalkompakten Raum eine Teilmenge genau dann abgeschlossen ist, wenn ihr Durchschnitt mit jeder kompakten Menge kompakt ist.

Wir nennen im folgenden einige zentrale Sätze über eigentliche holomorphe Abbildungen.

Satz 1:

Es seien X und Y lokalkompakte Räume und p : Y → X eine eigentliche Überlagerungsabbildung. Dann gilt:

  1. Für jeden Punkt xX ist die Menge p−1 (x) endlich.
  2. Sei xX und V eine Umgebung von p−1 (x). Dann existiert eine Umgebung U von x mit p−1 (U) ⊂ V.
  3. Sei X zusammenhangend und Y nicht leer. Dann ist p surjektiv.

Satz 2:

Es seien X und Y lokalkompakte Raume und p : Y → X eine eigentliche, unverzweigte Überlagerungsabbildung.

Dann ist p eine unbegrenzte Überlagerung.

Seien X und Y Riemannsche Flächen und f : XY eine eigentliche nicht konstante holomorphe Abbildung. Wegen der lokalen Gestalt holomorpher Abbildungen ist die Menge A der Verzweigungspunkte von f abgeschlossen und diskret. Da f eigentlich ist, ist auch B := f (A) abgeschlossen und diskret. Man nennt B die Menge der kritischen Werte von f.

Sei Y' := Y\B und \begin{eqnarray}X^{\prime} :=X\backslash {f}^{-1}(B)\subset X\backslash A.\end{eqnarray}

Dann ist f | X'Y' eine eigentliche unverzweigte holomorphe Überlagerung, besitzt also eine wohlbestimmte endliche Blätterzahl n (die Mächtigkeit von f− 1 (c), cY'). Das bedeutet, daß jeder Wert cY' genau n-mal angenommen wird.

Um diese Aussage auch auf die kritischen Werte bB ausdehnen zu können, müssen wir die Vielfachheit mit berücksichtigen. Für xX bezeichnen wir mit v (f, x) die Vielfachheit, mit der f im Punkt x den Wert f (x) annimmt. Wir sagen, daß f auf X den Wert cY mit Vielfachheit gerechnet m-mal annimmt, falls \begin{eqnarray}m=\displaystyle \sum _{x\in {p}^{-1}(c)}\upsilon (f,x).\end{eqnarray}

Man kann nun folgenden Satz 3 formulieren:

Es seien X und Y Riemannsche Flächen und f : X → Y eine eigentliche, nicht-konstante holomorphe Abbildung. Dann gibt es eine natürliche Zahl n so, daß f jeden Wert cY mit Vielfachheit gerechnet n-mal annimmt.

Korollare hieraus sind:

Auf einer kompakten Riemannschen Fläche X hat jede nicht-konstante meromorphe Funktion f : X → ℙ1ebenso viele Nullstellen wie Pole (mit Vielfachheit gerechnet).

Dies folgt daraus, daß f : X → ℙ1 eine eigentliche Abbildung ist, sowie:

Ein Polynom n-ten Gerades f (z) = zn +a1zn−1 + … + an ∈ ℂ [z] hat mit Vielfachheit gerechnet genau n Nullstellen.

Man vergleiche auch das eng verwandte Stichwort eigentliche meromorphe Abbildung.

[1] Forster, O.: Riemannsche Flächen. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1977.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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