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Lexikon der Mathematik: eigentliche-meromorphe-Abbildung

eine meromorphe Funktion f: G1G2 (wobei G1, G2 ⊂ ℂ Gebiete sind) mit folgender Eigenschaft: Es existiert eine Zahl k ∈ ℕ derart, daß jedes aG2 genau k Ürbilder in G1 hat, wobei die Vielfachheit zu berücksichtigen ist. Genauer bedeutet dies: Zu jedem aG2 gibt es ℓ ≤ k verschiedene Punkte z1,…,zlG1 mit f (zj) = a für j = 1,…,ℓ und \begin{eqnarray}v(f,{z}_{1})+\ldots +v(f,{z}_{l})=k,\end{eqnarray} wobei v(f, zj) die Vielfachheit der a-Stelle zj bezeichnet. Im Fall a = ∞ ist v(f, zj) durch die Polstellenordnung von zj zu ersetzen. Die Zahl k heißt der Abbildungsgrad von f und wird mit k = deg f bezeichnet. Man schreibt auch \(f:{G}_{1}\mathop{\to }\limits^{k:1}{G}_{2}\). Eine eigentliche meromorphe Abbildung f: G1G2 ist also insbesondere surjektiv.

Einige Beispiele:

Es sei \begin{eqnarray}R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{{a}_{n}{z}^{n}+\cdots +{a}_{1}z+{a}_{0}}{{b}_{m}{z}^{m}+\cdots +{b}_{1}z+{b}_{0}}\end{eqnarray} eine rationale Funktion mit teilerfremden Polynomen P, Q und an ≠ 0, bm ≠ 0. Dann ist R eine eigentliche holomorphe Abbildung von \(\mathop{{\mathbb{C}}}\limits^{\wedge }\) auf \(\mathop{{\mathbb{C}}}\limits^{\wedge }\) vom Grad k = degR = max {m, n}. Dabei setzt man R(z0) := ∞ to, falls z0 ∈ ℂ eine Polstelle von R ist, R(∞) := ∞, falls n > m, R(∞) := 0, falls n < m und R(∞) := an/bn, falls n = m.

Eine konforme Abbildung von G1 auf G2 ist eine eigentliche Abbildung vom Grad Eins.

Eine eigentliche Abbildung f: G1G2 heißt unverzweigt, falls f keine kritischen Punkte in G1 besitzt, andernfalls heißt sie verzweigt.

Zur äquivalenten Umformulierung des Begriffs der eigentlichen Abbildung führt man folgende Redewendung ein. Eine meromorphe Funktion f: G1G2 bildet Randfolgen in Randfolgen ab, falls für jede Folge (zn) in G1 mit \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{z}_{n}=\zeta \) für ein ζ ∈ ∂G1 die Bildfolge (f(zn)) alle ihre Häufungspunkte auf ∂G2 hat. Man beachte dabei, daß die Folge (f(zn)) nicht konvergent sein muß. Dann sind folgende Eigenschaften für eine meromorphe Funktion f: G1G2 äquivalent:

  1. f ist eine eigentliche Abbildung.
  2. f bildet Randfolgen in Randfolgen ab.
  3. Das Urbild f−1 (K) jeder kompakten Menge KG2 ist kompakt in G1.

Man vergleiche auch das eng verwandte Stichwort eigentliche holomorphe Abbildung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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