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Lexikon der Mathematik: Eigenwert

einer der grundlegendsten und zentralen Begriffe innerhalb der Linearen Algebra, wobei man hier in stillschweigender Übereinkunft den Begriff „Eigenwert“ als Synonym für „Eigenwert eines Endomorphismus bzw. einer Matrix“ benutzt.

Als Eigenwert bezeichnet man einen Skalar \(\lambda \in {\mathbb{K}}\), für den bezüglich eines Endomorphismus f auf einem Vektorraum V über dem Körper \({\mathbb{K}}\) gilt: Es existiert ein von Null verschiedener Vektor υV, so daß \begin{eqnarray}f(\upsilon )=\lambda \upsilon.\end{eqnarray}

Jeder derartige Vektor heißt Eigenvektor von f zum Eigenwert λ.

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Die Menge aller Eigenvektoren eines Vektorraumes zu einem Eigenwert λ ergänzt um den Nullvektor wird als Eigenraum von λ bezeichnet; die Eigenräume sind stets Untervektorräume von V. Wird der Endomorphismus f bezüglich einer Basis von V durch die Matrix A repräsentiert, so spricht man auch von Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum von A. Es gilt in diesem Fall also die Beziehung \begin{eqnarray}A\upsilon =\lambda \upsilon.\end{eqnarray}

Ist V endlich-dimensional, so sind die Eigenwerte von f gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von f sowie des Minimalpolynoms von f, wobei im letzteren Falle die Vielfachheiten nicht übereinstimmen müssen.

Die Eigenräume sind Lösungsräume der homogenen linearen Gleichungssysteme \begin{eqnarray}(A-\lambda I)x=0,\end{eqnarray} wobei A eine den Endomorphismus f repräsentierende Matrix darstellt (I bezeichnet die Einheitsmatrix).

Die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert λ des Endomorphismus f bzw. der repräsentierenden Matrix A auf dem n-dimensionalen Vektorraum V ist gleich \begin{eqnarray}n-{\rm{R}}g(A-\lambda I).\end{eqnarray}

Ein Endomorphismus f auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V kann genau dann durch eine Diagonalmatrix repräsentiert werden, falls V eine Basis aus Eigenvektoren zu f besitzt.

Eine (n × n)-Matrix A ist genau dann zu einer Diagonalmatrix ähnlich, wenn A n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.

Für weitere Information im Zusammenhang mit Eigenwerten vergleiche man auch das Stichwort Eigenwertgleichung.

Die Bezeichnung „Eigen“ ist auch im angloamerikanischen Sprachraum üblich, wo man beispielsweise vom „Eigenvalue“ und „Eigenvector“ spricht.

[1] Fischer, G.: Lineare Algebra. Verlag Vieweg Braunschweig, 1978.
[2] Koecher, M.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1992.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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