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Lexikon der Mathematik: Eikonalgleichung

Näherungsgleichung für eine Wellengleichung, speziell in der geometrischen Optik.

Sie ist dann eine gute Näherung an die exakte Gleichung, wenn die Amplitude der Welle nur eine geringe raumzeitliche Schwankung aufweist.

Ein Beispiel: Die Welle sei durch den Skalar φ beschrieben, und die Wellengleichung sei einfach \({\phi }_{;i}^{;i}=0\) in der Minkowski-Raum-Zeit der speziellen Relativitätstheorie. Wir machen den Ansatz \begin{eqnarray}\phi =a\cdot \exp (i\psi )\end{eqnarray} und nehmen an, daß der Gradient von a gegenüber dem Gradienten von ψ vernachlässigbar ist.

Dann lautet die erste Näherung der Wellengleichung ψ;iψ;i = 0, und diese Gleichung wird Eikonalgleichung genannt.

Aus der Eikonalgleichung läßt sich also ablesen, daß der Wellenvektor (hier: ψ;i) eines masselosen Teilchens (hier: φ) lichtartig ist, also das Teilchen sich in erster Näherung mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.

Steht dagegen auf der rechten Seite der Wellengleichung noch ein Masseterm (mit positiver Masse), wird der Wellenvektor zeitartig, und das Teilchen bewegt sich mit Unterlichtgeschwindigkeit.

Ferner wird hier deutlich, wie negative Masse zu Überlichtgeschwindigkeit führen kann – beides ist allerdings experimentell noch nicht nachgewiesen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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