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Lexikon der Mathematik: Ein-Parameter-Gruppe von Diffeomorphismen

Familie {φt : MM}t∈ℝ von Diffeomorphismen auf einer Mannigfaltigkeit M, für die gilt:

  1. φ0 = idM,
  2. \({\phi }_{-t}=\text{}\text{}\text{}{\phi }_{t}{}^{-1}\) für alle t ∈ ℝ,
  3. φs+t = φsφt fur alle s, t ∈ ℝ.

Für eine Untermannigfaltigkeit NM × ℝ der Form \begin{eqnarray}N=\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{m\in M}(T_{-}(m),{T}_{+}(m))\end{eqnarray} mit T(m), T+(m) > 0 für alle mM heißt eine Abbildung Φ : UM lokale Ein-Parameter-Gruppe von Transformationen (auf M), falls

  1. Φ(m, 0) = m, und
  2. Φ(Φ(m, t), s) = Φ(m, s + t)
für alle s, t ∈ ℝ und alle mM gilt, für die beide Seiten definiert sind.

Eine Ein-Parameter-Gruppe von Transformationen (auf M) induziert einen Fluß (M, ℝ, Φ) mit Φ(m, t) ≔ φt(m) für alle mM, t ∈ ℝ.

Eine differenzierbare lokale Ein-Parameter-Gruppe von Transformationen induziert ein Vektorfeld \begin{eqnarray}M\ni m\mapsto \frac{d}{dt}{\rm{\Phi }}(m,t){|}_{t=0},\end{eqnarray} den sog. infinitesimalen Erzeuger von Φ. Umgekehrt wird durch jedes differenzierbare Vektorfeld f auf M eine Differentialgleichung auf M induziert, deren (lokale) Lösungen eine lokale Ein-Parameter-Gruppe von Transformationen auf M induzieren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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