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Lexikon der Mathematik: eindeutige Primfaktorzerlegung

die Tatsache, daß man natürlicher Zahlen in eindeutiger Weise als Produkt von Primzahlen dastellen kann. Es gilt folgender Satz:

Jede natürliche Zahl n kann in eindeutiger Weise als Produkt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}n={p}_{1}^{{v}_{1}}\ldots {p}_{r}^{{v}_{1}} &\end{array}\end{eqnarray}von Primzahlen \begin{eqnarray}{p}_{1}\lt {p}_{2}\lt \ldots \lt {p}_{r}\end{eqnarray}mit Exponenten v1, …, vr aus den natürlichen Zahlen geschrieben werden.

Die Darstellung (1) heißt Primfaktorzerlegung von n, jede der darin vorkommenden Primzahlen nennt man einen Primfaktor von n. Zu einer gegebenen Primzahl p ist der p-Exponent einer ganzen Zahl a ≠ 0 gegeben durch \begin{eqnarray}{v}_{p}(a)=\left\{\begin{array}{ll}{v}_{j} & \text{falls}\space p={p}_{j}\space\text{in}\space\text{der}\\ & \text{Primfaktorzerlegung}\space\text{von}|a|\\ 0 & \text{sonst}\text{.}\end{array}\right.,\end{eqnarray}

Die Zerlegung in Primfaktoren steht zwar nicht in dieser oder ähnlicher Form bei Euklid, wohl aber findet sich in Euklids Buch VII („Elemente“ des Euklid) das entscheidende Argument zum Beweis, nämlich der Satz von Euklid über Primteiler.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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