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Lexikon der Mathematik: eindeutige Primzerlegung

eine Verallgemeinerung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Seien \({\mathscr{O}}\)ein Dedekindscher Ring und a ein von Null und \({\mathscr{O}}\)verschiedenes Ideal in \({\mathscr{O}}\).

Dann besitzt \({\mathfrak{a}}\)eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Produktdarstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\mathfrak{a}}\hat{\text{E}}={{\mathfrak{p}}}_{1}^{{v}_{1}}\ldots {{\mathfrak{p}}}_{r}^{{v}_{r}} &\end{array}\end{eqnarray}mit Primidealen \({{\mathfrak{p}}}_{\text{1,}\ldots \text{,}}{{\mathfrak{p}}}_{2}\)in \({\mathscr{O}}\)und Exponenten v1,…, vr ∈ ℕ.

Zu einem Primideal \({\mathfrak{p}}\) ist der \({\mathfrak{p}}\)-Exponent eines Ideals \({\mathfrak{a}}\) ≠ (0) gegeben durch \begin{eqnarray}{v}_{{\mathfrak{p}}}({\mathfrak{a}})=\left\{\begin{array}{ll}{v}_{j} & \text{falls}\space{\mathfrak{p}}={{\mathfrak{p}}}_{j}\space\text{in}\space\text{(1),}\\ 0 & \text{sonst}\text{.}\end{array}\right.\end{eqnarray}

Dieser Satz heißt auch Hauptsatz der Dedekindschen Idealtheorie.

Die eindeutige Primzerlegung in Dedekindschen Ringen ist eine Weiterentwicklung der Kummerschen Idee von den idealen Zahlen, für die, analog zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, eine eindeutige Zerlegung in „ideale Primzahlen“, in heutiger Sprache Primideale, existieren müsse. Die eindeutige Primzerlegung besitzt eine Verallgemeinerung auf gebrochene Ideale.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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