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Lexikon der Mathematik: eindimensionale Diffusion

Bezeichnung für eine bedeutende Klasse stochastischer Prozesse. Entsprechend verschiedener Definitionsmöglichkeiten ergeben sich auch verschiedene Klassen von Diffusionsprozessen.

Eine eindimensionale Diffusion wird häufig als (starker) Markow-Prozeß (Xt)t≥0 mit stetigen Pfaden definiert. Es gilt dann \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h}P(|{X}_{t+h}-x|\gt \varepsilon |{X}_{t}=x)=0.\end{eqnarray}

Weiterhin existieren in der Regel die Grenzwerte \begin{eqnarray}\mu (t,x):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h}E({X}_{t+h}-{X}_{t}|{X}_{t}=x)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\sigma }^{2}(t,x):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h}E({({X}_{t+h}-{X}_{t})}^{2}|{X}_{t}=x).\end{eqnarray}

Dabei wird μ(t, x) als Driftparameter oder Trendkoeffizient und σ2(t, x) als Diffusionsparameter bezeichnet. Im allgemeinen sind μ(t, x) und σ2(t, x) stetige Funktionen von t und x.

Einige Autoren nehmen die Existenz von Drift- und Diffusionsparameter explizit mit in die Definition auf: Ist (Xt)t≥0 ein Markow-Prozeß mit Übergangsfunktion P(s, x; t, B), \(s,t\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\), st, x ∈ ℝ und \(B\in {\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\), so wird (Xt)t≥0 als Diffusion bezeichnet, wenn die Übergangsfunktion für beliebige s ≥ 0, x ∈ ℝ und ϵ > 0 die folgenden Bedingungen erfüllt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{|y-x|\gt \varepsilon }P(s,x;s+h,dy)=0,\end{eqnarray} und es existieren die Grenzwerte \begin{eqnarray}\mu (t,x):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{|y-x|\le \varepsilon }(y-x)P(s,x;s+h,dy)\end{eqnarray} sowie \begin{eqnarray}{\sigma }^{2}(t,x):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{(y-x)\le \varepsilon }{(y-x)}^{2}P(s,x;s+h,dy),\end{eqnarray} die wieder als Drift- bzw. Diffusionsparameter bezeichnet werden. Die erste dieser Bedingungen garantiert dabei die Stetigkeit der Pfade. Unter gewissen Zusatzvoraussetzungen besitzt die Übergangsfunktion eine Dichte p(s, x; t, y) bezüglich des Lebesgue-Maßes. Diese Dichte stellt eine starke Lösung zweier Differentialgleichungen dar: Der Rückwärtsgleichung von Kolmogorow sowie der Fokker-Planck-Gleichung.

Desweiteren finden sich Definitionen, bei denen unter einer Diffusion eine Lösung einer stochastischen Differentialgleichung verstanden wird.

Ein wichtiges Beispiel für eine eindimensionale Diffusion ist eine normale eindimensionale Brownsche Bewegung, für die gilt μ(t, x) = 0 und σ2(t, x) = 1 für alle t ≥ 0 und x ∈ ℝ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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