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Lexikon der Mathematik: eingebetteter stochastischer Prozeß

Teil eines stochastischen Prozesses, bei dem nur eine Teilmenge von Zeitpunkten, die sogenannten eingebetteten Zeitpunkte, betrachtet werden.

Eingebettete Prozesse spielen in der Warteschlangentheorie (Bedienungstheorie) und der Erneuerungstheorie eine Rolle.

Oft ist es interessant, Charakteristiken in Bedienungssystemen nicht in beliebigen Zeitpunkten, sondern nur in besonders interessierenden, den sogenannten eingebetteten Zeitpunkten zu bestimmen. Solche eingebetteten Zeitpunkte sind z. B. die Zeitpunkte des Eintreffens von Forderungen oder der Beendigung von Bedienungen. Untersucht man den Systemzustand in solchen eingebetteten Zeitpunkten, so ergibt sich häufig ein anderer Typ eines zufälligen Prozesses, der leichter mathematisch zu behandeln ist, als wenn man die gesamte Zeitachse betrachtet. Wir haben es dann mit eingebetteten zufälligen Prozessen zu tun.

Zum Beispiel bildet für ein Bedienungssystem mit unabhängigen, identisch, aber nicht notwendigerweise exponentialverteilten Zwischenankunftszeiten und exponentialverteilten Bedienungszeiten die Folge \begin{eqnarray}{(N({T}_{n}-0))}_{n\ge 1}\end{eqnarray} der Anzahl der Forderungen im System unmittelbar vor dem Zeitpunkt Tn des Eintreffens von Forderungen eine Markowsche Kette. Dagegen ist der Prozeß \({(N(t))}_{t\ge 0}\) der Anzahl der Forderungen im System zu beliebigen Zeitpunkten kein Markowscher Prozeß mehr.

In der Theorie stochastischer Prozesse geht es dann um die Entwicklung von Methoden zur Herleitung von Beziehungen zwischen den Charakteristiken eingebetteter Prozesse und den Charakteristiken von Prozessen mit beliebigen Zeitpunkten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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