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Lexikon der Mathematik: Einheiten imaginär-quadratischer Zahlkörper

aufgrund der vorausgesetzten speziellen Körperstruktur genauer beschreibbare Einheiten.

Ist \(K={\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\) mit einer quadratfreien ganzen Zahl d < 0 ein imaginär-quadratischer Zahlkörper, so besitzt K keine reelle Einbettung K → ℝ und genau ein Paar konjugiert komplexer Einbettungen K → ℂ, also ist jede Einheit in seinem Ganzheitsring \({{\mathscr{O}}}_{K}\) eine Einheitswurzel.

Im Fall d = −1 ist die Einheitengruppe \begin{eqnarray}{({O}_{K})}^{\times }=\{1,i,-1,-i\},\end{eqnarray} die Gruppe der vierten Einheitswurzeln, für d = −3 ist \begin{eqnarray}{({O}_{K})}^{\times }=\{1,{e}^{\pi i/3},{e}^{2\pi i/3},-1,{e}^{4\pi i/3},{e}^{5\pi i/3}\}\end{eqnarray} die Gruppe der sechsten Einheitswurzeln, und für alle anderen imaginär-quadratischen Zahlkörper \({\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\) ist \begin{eqnarray}{({O}_{{\mathbb{Q}}(\sqrt{d})})}^{\times }=\{1,-1\}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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