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Lexikon der Mathematik: Einheiten reell-quadratischer Zahlkörper

aufgrund der vorausgesetzten speziellen Körperstruktur genauer beschreibbare Einheiten.

Ist \(K={\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\) mit einer quadratfreien ganzen Zahl d > 1 ein reell-quadratischer Zahlkörper, so besitzt K genau zwei reelle und keine imaginäre Einbettung, also ist die Einheitengruppe seines Ganzheitsrings \({{\mathscr{O}}}_{K}\)\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{({{\mathscr{O}}}_{K})}^{\times }=\{\pm {\varepsilon }_{0}^{v}:v\in {\mathbb{Z}}\} &\end{array}\end{eqnarray} mit einer Grundeinheit ϵ0, die durch die Forderung ϵ0 > 1 eindeutig bestimmt ist.

Die Grundeinheit ϵ0 ist mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung der Zahl \begin{eqnarray}\beta =\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(1+\sqrt{d}) & \mathrm{f\ddot{u}r}\space d\equiv 1\space\mathrm{mod}\space 4,\\ \sqrt{d} & \mathrm{f\ddot{u}r}\space d\equiv 2,3\space\mathrm{mod}\space 4,\end{array}\right.\end{eqnarray} berechenbar.

Weiter gilt folgender Satz:

Ist d ≡ 2, 3 mod 4, so ist \(\varepsilon =x+y\sqrt{d}\)genau dann eine Einheit, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{x}^{2}-d{y}^{2}=\pm 1. \end{array}\end{eqnarray}

Ist d ≡ 1 mod 4, so ist \begin{eqnarray}\varepsilon =\frac{1}{2}(x+y\sqrt{d})\end{eqnarray}genau dann eine Einheit, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}2|(x-y)\quad und\quad {x}^{2}-d{y}^{2}=\pm 4.\end{array}\end{eqnarray}

Damit sind die Einheiten eines reell-quadratischen Zahlkörpers mit den Lösungen der sog. Pellschen Gleichung verknüpft.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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