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Lexikon der Mathematik: Einheitengruppe

die multiplikative Gruppe der Einheiten eines assoziativen Rings R mit Eins(element), also \begin{eqnarray}\{r\in R|\exists a,b\in R:r\cdot a=1=b\cdot r\}.\end{eqnarray}

Es ist zu beachten, daß das Rechtsmit dem Linksinversen übereinstimmt, falls beide existieren.

Man bezeichnet die Einheitengruppe des Rings R mit R× oder auch R*. Ihre Elemente heißen die Einheiten eines Rings, bzw. die invertierbaren Elemente des Rings.

Beispielsweise hat der Ring ℤ der ganzen Zahlen die Einheitengruppe \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\mathbb{Z}}}^{\times }=\{1,-1\}.\end{array}\end{eqnarray}

In einem Körper K ist jedes Element xK, x ≠ 0, invertierbar, also gilt in diesem Fall \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{K}^{\times }=K\backslash \{0\}.\end{array}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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