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Lexikon der Mathematik: Einheitswurzel

eine komplexe Zahl ζ mit ζn = 1 für ein n ∈ ℕ.

Eine solche Zahl ζ heißt n-te Einheitswurzel. Es gibt genau n verschiedene Zahlen ζ0,…, ζn−1 mit dieser Eigenschaft, nämlich \begin{eqnarray}\zeta k={e}^{2k\pi i/n}=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}.\end{eqnarray}

Geometrisch liegen sie auf der Einheitskreislinie in den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks.

Die Zahl ζ1 = e2πi/n heißt primitive n-te Einheitswurzel. Ist n ≥ 2 und ζ ≠ 1 eine n-te Einheitswurzel, so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\zeta }^{k}=0.\end{eqnarray}

Die Menge Gn aller n-ten Einheitswurzeln ist eine zyklische Untergruppe der Ordnung n der multiplikativen Gruppe S1 ≔ {z ∈ ℂ : |z| = 1}. Die Mengen \begin{eqnarray}G:=\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{G}_{n}\space\text{und}\space H:=\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\cup }}{G}_{{2}^{n}}\end{eqnarray} sind ebenfalls Untergruppen von S1, und es gilt HG. Weiter sind die Mengen G und H dicht in S1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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