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Lexikon der Mathematik: Einschließungseigenschaft

eine grundlegende Eigenschaft der Intervallrechnung, die besagt, daß die Intervallauswertung f(x) einer Funktion f : D ⊆ ℝ → ℝ über einem kompakten Teilintervall xD (sofern sie existiert) den Wertebereich f (x) enthält: \begin{eqnarray}f({\bf{\text{x}}})=\{f(x)|x\in {\bf{\text{x}}}\}\subseteq {\bf{\text{f}}}({\bf{\text{x}}}).\end{eqnarray}

Diese Aussage hängt nicht von der Gestalt des Funktionsausdrucks f(x) ab. Gleichheit gilt z. B., wenn die Variable x in f(x) nur einmal auftritt.

Die Einschließungseigenschaft gilt in analoger Weise bei Funktionen mit mehreren Variablen und bei Funktionen mit Parametern.

Tritt die Variable x in f(x) mehrfach, etwa n-mal, auf, so liefert die Intervallauswertung häufig eine Überschätzung des Wertebereichs. Ersetzt man nämlich x in f(x) beim ersten Auftreten durch x1, beim zweiten durch x2 usw., so erhält man einen Funktionsausdruck g(x1, …, xn), für den zwar f(x) = g(x,…, x), xx gilt, für dessen Wertebereich über x × … × x aber im allgemeinen nur \begin{eqnarray}f({\bf{\text{x}}})\subseteq g({\bf{\text{x}}},\ldots, {\bf{\text{x}}}\}={\bf{\text{f}}}({\bf{\text{x}}})\end{eqnarray} gezeigt werden kann, da die Variablen in g(x1,…xn) unabhängig voneinander variieren.

Eine Möglichkeit, den Wertebereich genauer zu bestimmen, besteht in der Unterteilung von x in kleinere kompakte Intervalle, denn mit den bisherigen Bezeichnungen gilt der folgende Satz:

Ist g(x1, …, xn) Lipschitz–stetig in x × … × x so existiert ein γ ≤ 0 mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}q(f({\bf{\text{z}}}),{\bf{\text{f}}}({\bf{\text{z}}}))\le \gamma \cdot d({\bf{\text{z}}}) \end{array}\end{eqnarray}für alle in x enthaltenen kompakten Teilintervalle z. Dabei bezeichnet q die Hausdorff–Metrik und d den Durchmesser eines Intervalls.

Gilt etwa \begin{eqnarray}{\bf{\text{x}}}=\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\cup }}{{\bf{\text{z}}}}_{j}\end{eqnarray} mit d(zj) = d(x)/k, j = 1, …, k, und definiert man \begin{eqnarray}{{\bf{\text{f}}}}_{k}({\bf{\text{x}}})=\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\cup }}{\bf{\text{f}}}({{\bf{\text{z}}}}_{j}),\end{eqnarray} so zieht (1) die Abschätzung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}q(f({\bf{\text{x}}}),{{\bf{\text{f}}}}_{k}({\bf{\text{x}}}))\le \gamma |d({\bf{\text{x}}})|/k \end{array}\end{eqnarray} nach sich.

Für die Mittelwertform, die Steigungsform oder eine andere zentrierte Form kann (1) durch die Abschätzung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}q(f({\bf{\text{z}}}),{\bf{\text{f}}}({\bf{\text{z}}}))\le \hat{\gamma }{(d({\bf{\text{z}}}))}^{2} \end{array}\end{eqnarray} ersetzt werden, die für alle in x enthaltenen kompakten Teilintervalle z gilt, und in der die Konstante \(\hat{\gamma }\ge 0\) wieder nur von x abhängt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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