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Lexikon der Mathematik: Einschließungssätze für Eigenwerte

Typus von Aussagen über die Einschließung von Eigenwerten.

Gegeben sei ein selbstadjungiertes volldefinites Eigenwertproblem \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Lu=\lambda r(x)u, \end{array}\end{eqnarray} d. h., alle seine Eigenwerte seien positiv, auf dem Intervall J = [a, b]. K sei der Integraloperator des Problems, s ∈ ℕ und α, β ∈ ℝ mit 0 ≤ α < β. Sei V(J) der Raum der Vergleichsfunktionen und \begin{eqnarray}\{v|w\}:=-\displaystyle \mathop{\int }\limits_{J}vLwdx\end{eqnarray} ein Skalarprodukt auf diesem linearen Raum. Dann existiert eine Reihe von Einschließungssätzen, von denen wir die wichtigsten im folgenden auflisten:

Erster Einschließungssatz (Satz von Mertins):

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1. In J liegen mindestens s Eigenwerte des Eigenwertproblems (1).
  2. Es gibt s linear unabhängige Funktionen w1,…,wsV(J) so, daß für jedes \(w:=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{s}{c}_{i}{w}_{i}\)gilt: \begin{eqnarray}\{\alpha Kw-w|\beta Kw-w\}\ge 0.\end{eqnarray}

Zweiter Einschließungssatz:

Sei 0 ≠ vV(J). Die zugehörige Einschließungsfunktion \begin{eqnarray}E:=-\frac{1}{r}\frac{Lv}{v}\end{eqnarray}sei auf J definiert, stetig und positiv. Dann befindet sich im Intervall \begin{eqnarray}\left(\mathop{\min }\limits_{a\le x\le b}E(x),\mathop{\max }\limits_{a\le x\le b}E(x)\right)\end{eqnarray}ein Eigenwert von (1).

Dritter Einschließungssatz (Satz von Temple):

Für ein w1 ≠ 0 aus V(J) lauten die ersten Schwarzschen Konstanten \begin{eqnarray}{\sigma }_{0}:=\{{w}_{1}|{w}_{1}\},\space {\sigma }_{1}:=\{K{w}_{1}|{w}_{1}\},\space {\sigma }_{2}:=\{K{w}_{1}|K{w}_{1}\}.\end{eqnarray}

Wählt man nun ein \(\beta \gt \frac{{\sigma }_{0}}{{\sigma }_{1}}\)und setzt \begin{eqnarray}\alpha :=\frac{\beta {\sigma }_{1}-{\sigma }_{0}}{\beta {\sigma }_{2}-{\sigma }_{1}},\end{eqnarray}so ist 0 < α < β, und im Intervall [α, β] liegt mindestens ein Eigenwert des betrachteten Problems. a heißt Templescher Quotient und σ1/σ2ist der Rayleighsche Quotient.

Vierter Einschließungssatz (Satz von Collatz):

Sei \begin{eqnarray}p(\mu )=\displaystyle \sum _{i=0}^{2}{\alpha }_{i}{\mu }_{i}\end{eqnarray}ein reelles Polynom. Mit dem Skalarprodukt \begin{eqnarray}(u|v):=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}r(x)u(x)v(x)dx\end{eqnarray}auf C(J) mit der Gewichtsfunktion r gilt: Ist für ein u ≠ 0, uC(J) \begin{eqnarray}{\alpha }_{0}u+{\alpha }_{1}Ku+{\alpha }_{2}{K}^{2}u|u)\ge 0,\end{eqnarray}so enthält die Menge {μ ∈ ℝ : p(μ) ≥ 0} mindestens einen Eigenwert von K, also auch das Reziproke eines Eigenwertes des Sturm-Liouvilleschen Eigenwertproblems.

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner Stuttgart, 1995.
[2] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B.G. Teubner Stuttgart, 1977.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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