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Lexikon der Mathematik: einseitig stetig

Eigenschaft einer reellen Funktion, entweder linksseitig stetig oder rechtsseitig stetig zu sein.

Der Begriff läßt sich unter den dortigen Annahmen mit Hilfe einseitiger Grenzwerte einfach wie folgt definieren: Hat man x0D, so heißt f in x0 genau dann linksseitig stetig, wenn \begin{eqnarray}f(x)\to f({x}_{0})\quad ({x}_{0}\gt x\gt {x}_{0})\end{eqnarray} gilt, wenn also der linksseitige Grenzwert von f in x0 existiert und gleich dem Funktionswert f(x0) ist. Ohne Bezug auf den Grenzwert lautet die Definition allgemeiner: f in x0 linksseitig stetig : ⇔ \begin{array}{l}[\forall \varepsilon \gt 0\exists \delta \gt 0\forall x\in D:\\ [0\lt {x}_{0}-x\lt \delta \Rightarrow |f(x)-f({x}_{0}|\lt \varepsilon ].\end{array}

Hier wird also nicht verlangt, daß sich x0 durch (von x0 verschiedene) Punkte aus D von links aus approximieren läßt. Dabei ist natürlich D ⊂ ℝ, f : D → ℝ und x0D vorausgesetzt, wobei noch wesentlich allgemeinere Zielbereiche möglich sind.

Entsprechend heißt f rechtsseitig stetig in x0 genau dann, wenn zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 so existiert, daß |f(x) − f (x0| < ϵ für alle x ∈ D mit \begin{eqnarray}0\lt x-{x}_{0}\lt \delta \end{eqnarray} gilt.

f ist in x0 genau dann stetig, wenn f in x0 rechtsund linksseitig stetig ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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