Überbegriff für die Ausdrücke linksseitiger Grenzwert oder rechtsseitiger Grenzwert.

Es sei D ⊂ ℝ und f : D → ℝ. Unter der Annahme, daß zu einem x₀ ∈ ℝ eine Folge (x_n) in D mit x_n < x₀ und x_n → x₀ (n → ∞) existiert (x₀ muß von links aus durch Elemente von D approximierbar sein), ist der linksseitige Grenzwert wie folgt definiert: \begin{eqnarray}f(x)\to \ell ({x}_{0}\gt x\to {x}_{0}):\iff \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{{x}_{0}\gt x\to {x}_{0}}f(x)=\ell :\iff \\ \forall \varepsilon \gt 0\exists \delta \gt 0\forall x\in D[0\lt {x}_{0}-x\lt \delta \Rightarrow f(x)\in {{\mathscr{U}}}_{\ell }^{\varepsilon }].\end{eqnarray}

Hierbei ist ℓ ∈ ℝ ∪ {−∞, ∞} zugelassen. Für ϵ ∈ (0, ∞) seien dabei \begin{eqnarray}{{\mathscr{U}}}_{\ell }^{\varepsilon }:=\{x\in {\mathbb{R}}:|x-l|\lt \varepsilon \},\space\mathrm{falls}\space\ell \in {\mathbb{R}},\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{{\mathscr{U}}}_{\infty }^{\varepsilon }:=\left\{x\in {\mathbb{R}}:x\gt \frac{1}{\varepsilon }\right\},\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{{\mathscr{U}}}_{-\infty }^{\varepsilon }:=\left\{x\in {\mathbb{R}}:x\lt -\frac{1}{\varepsilon }\right\}.\end{eqnarray}

Anstelle von \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{{x}_{0}\gt x\to {x}_{0}}f(x)\end{eqnarray} wird auch \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to {x}_{0}-}f(x)\end{eqnarray} geschrieben.

Natürlich hat man ganz analog – Übergang x ↦ −x, d. h. Spiegelung an der y-Achse – unter der Voraussetzung, daß nun eine Folge (x_n) in D mit x_n > x₀ und x_n → x₀ (n → ∞) existiert, rechtsseitige Grenzwerte. Hier wird entsprechend statt \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{{x}_{0}\lt x\to {x}_{0}}f(x)\) auch \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to {x}_{0}+}f(x)\) notiert.

Zwei Beispiele dazu:

Die Vorzeichen-Funktion \begin{eqnarray}f(x)=\mathrm{sgn}(x).\end{eqnarray}

Es ist f(0) = 0, \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{0\lt x\to 0}f(x)=1\) und \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{0\gt x\to 0}f(x)=-1\).

Die beiden einseitigen Grenzwerte existieren also, stimmen aber in 0 nicht überein.

Die Funktion \begin{eqnarray}f(x)=\frac{1}{{x}^{2}-1}\quad (x\in D:={\mathbb{R}}\backslash \{1,-1\}).\end{eqnarray}f(1) ist gar nicht erklärt! Es gilt \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to 1+}f(x)=\infty \) und \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to 1-}f(x)=-\infty \).

Für den Beweis etwa der ersten Grenzwertaussage beachtet man, daß für x ∈ D \begin{eqnarray}f(x)=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}\cdot \frac{1}{x+1}\end{eqnarray} geschrieben werden kann. Strebt nun x von rechts (x > 1) gegen 1, so strebt x − 1 von rechts gegen 0, also \(\frac{1}{x-1}\) gegen ∞. Andererseits konvergiert \(\frac{1}{x+1}\) gegen \(\frac{1}{2}\). So folgt f(x) → ∞.