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Lexikon der Mathematik: Einselement

Element einer Menge, das, bei Anwendung einer Verknüpfung, „nichts ändert“, oder, anders formuliert, das neutrales Element bezüglich der Multiplikation ○.

Genauer gilt: Gegeben sei eine Verknüpfung ○ : M × MM auf einer Menge M. Ein Einselement ist ein Element e, für das gilt \begin{eqnarray}e\circ x=x\circ e=x\end{eqnarray} für alle xM.

Zumeist benutzt man den Begriff des Einselementes für den des Einselements bezüglich der Gruppenoperation, als weitestgehend synonyme Bezeichnung für das Einheitselement (bezüglich der Gruppenoperation).

Aus methodischen Gründen wird oft zunächst das Linkseinselement eL definiert durch die Forderung: Für alle Gruppenelemente g gilt eL · g = g. Dann wird analog das Rechtseinselement eR definiert durch geR = g.

Schließlich stellt man fest, daß das Produkt eL · eR sowohl gleich eL als auch gleich eR ist. Dieses Gruppenelement wird schließlich Einselement genannt und mit e bezeichnet.

Die Bezeichnung wird vor allem bei multiplikativen Gruppen angewandt. Wird die Gruppe als additive Gruppe geschrieben, ersetzt man in Anlehnung an die Identität x + 0 = x den Begriff Einselement durch die Bezeichnung „Nullelement“.

Beispiel: Das Einselement einer Transformationsgruppe ist diejenige Transformation, bei der der Ausgangszustand gleich dem Endzustand ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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