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Lexikon der Mathematik: Einstein-Hilbert-Wirkung

die Wirkungsfunktion IEH des gravitativen Anteils in der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie. Es ist \begin{eqnarray}{I}_{EH}=\displaystyle \int {L}_{EH}\sqrt{-\det {g}_{ij}}{d}^{4}x,\end{eqnarray} wobei LEH der durch \begin{eqnarray}{L}_{EH}=\frac{R}{16\pi G}\end{eqnarray} definierte Einstein-Hilbert-Lagrangian ist.

Dabei ist R der Krümmungsskalar, und G bezeichnet die Newtonsche Gravitationkonstante. (Diese Schreibweise der Formel gilt in einem System von Maßeinheiten, in dem die Lichtgeschwindigkeit c = 1 ist. In der Literatur wird gelegentlich auch ein Minuszeichen auf der rechten Seite geschrieben. Das liegt daran, daß es keine einheitlichen Vorzeichenkonventionen für Metrik und Krümmung gibt. Welches Vorzeichen im konkreten Fall zu verwenden ist, ergibt sich aus nachfolgendem Kriterium.)

Die beiden bekanntesten Lösungen der Einsteinschen Gleichung sind:

  1. Die nach dem Potsdamer Astronomen Karl Schwarzschild benannte Schwarzschildlösung von 1916 \begin{eqnarray}d{s}^{2}=(1-2m/r)d{t}^{2}-d{r}^{2}/(1-2m/r)-\\ -{r}^{2}(d{\psi }^{2}+\text{sin}^{2}\psi d{\phi }^{2}),\end{eqnarray} die eine kugelsymmetrische Lösung der Masse m darstellt, welche für m > 0 ein Schwarzes Loch beschreibt, dessen Horizont bei r = 2m liegt und der von innen nach außen nur durch Überlichtgeschwindigkeit oder durch Quanteneffekte überschritten werden kann. (Diese Schreibweise gilt in Einheiten, bei denen G = c = 1 ist; im SI-System berechnet sich der Horizont gemäß \begin{eqnarray}r=2Gm/{c}^{2}).\end{eqnarray}
  2. Die nach dem russischen Physiker Alexander Friedmann benannte Friedmannlösung von 1923, hier spezialisiert auf ein räumlich ebenes Modell mit druckfreier Materie von positiver Ruhenergiedichte: \begin{eqnarray}d{s}^{2}=d{t}^{2}-{t}^{4/3}(d{x}^{2}+d{y}^{2}+d{z}^{2}).\end{eqnarray}

Die Nullstelle t = 0 des räumlichen Anteils der Metrik ist hierbei das, was oft mit „Urknall “ (Big Bang) bezeichnet wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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