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Lexikon der Mathematik: Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Einstein-Raum, eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g), deren Ricci-Tensor ein konstantes Vielfaches des metrischen Fundamentaltensors ist.

Sind Sij und gij die Komponenten des Ricci-Tensors bzw. des metrischen Fundamentaltensors in bezug auf ein lokales Kordinatensystem von M, so ist (M, g) eine Einsteinsche Mannigfaltigkeit, wenn es eine Konstante λ gibt mit \begin{eqnarray}{S}_{ij}=\lambda {g}_{ij}.\end{eqnarray}

Die Zahl λ wird manchmal die mittlere Krümmung von M genannt, darf aber nicht mit der mittleren Krümmung von Flächen im ℝ3 verwechselt werden.

M ist genau dann eine Einsteinsche Mannigfaltigkeit, wenn die Ricci-Krümmung von M konstant ist.

Der Begriff der Einsteinschen Mannigfaltigkeit ist nur für Dimensionen n ≥ 4 von eigenständigem Interesse, da er für n = 2 und n = 3 mit dem des Raumes konstanter Krümmung zusammenfällt. Für n ≥ 2 ist jede Mannigfaltigkeit M konstanter Schnittkrümmung k eine Einsteinsche Mannigfaltigkeit mit der mittleren Krümmung \begin{eqnarray}\lambda =(n-1)k.\end{eqnarray}

Das ursprüngliche Interesse an Einsteinschen Mannigfaltigkeiten kommt von der Interpretation der Einsteinschen Bedingung S = 0 als Feldgleichung eines massefreien Gravitationsfeldes (Einsteinschen Feldgleichungen). Es gibt aber auch innermathematische Gründe für die besondere Rolle der Gleichung Sij = λgij. Diese liegen in der algebraischen Zerlegung des Raumes aller Krümmungstensoren in irreduzible Komponenten mit Methoden der Darstellungstheorie.

Es seien h und k zwei symmetrische Bilinearformen auf einem n-dimensionalen Vektorraum E, und q eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform auf E. Wir bezeichnen mit h * k die durch \begin{eqnarray}(h* k)(x,y,z,t)=h(x,z)k(y,t)+h(y,t)k(x,z)-\\ h(x,t)k(y,z)+h(y,z)k(x,t)\end{eqnarray} gegebene Operation, die jedem Paar (h, k) die Multilinearform h * k vierter Stufe zuordnet.

Ferner sei \({\mathscr{C}}(E)\subset {\otimes }^{4}E* \) der Raum der Multilinearformen vierter Stufe, die die erste Bianchi-Identität erfüllen und die Symmetrieeigenschaften des Riemannschen Krümmungstensors haben. Die Operation h * k ist eine bilineare Abbildung, die jedem Paar symmetrischer Bilinearformen ein Element aus \({\mathscr{C}}(E)\) zuordnet.

\({\mathscr{C}}(E)\) ist ein Vektorraum, auf dem die Gruppe O(q) der linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt q invariant lassen, wirkt. Dann zerfällt \({\mathscr{C}}(E)\) in die direkte Summe \begin{eqnarray}{\mathscr{C}}(E)={\mathscr{U}}(E)\oplus {\mathscr{Z}}(E)\oplus {\mathscr{W}}(E)\end{eqnarray} von drei irreduziblen invarianten Unterräumen. Dabei ist \({\mathscr{U}}(E)=\{rq* q;r\in {\mathbb{R}}\},{\mathscr{Z}}(E)\) ist die Menge aller möglichen Produkte q * h von q mit einer symmetrischen Bilinearform h auf E, und \({\mathscr{W}}(E)\) ist der Raum aller Multilinearformen r(x, y, z, t) aus \({\mathscr{C}}(E)\) mit \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r(x,{e}_{i},y,{e}_{i})=0,\end{eqnarray} wobei e1,…,en eine in bezug auf q orthogonale Basis von E ist.

Diese Zerlegung überträgt sich auf das entsprechende Tensorbündel einer jeden n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g), sodaß der Krümmungstensor R von (M, g) ein analoge invariante Zerlegung \begin{eqnarray}R={R}_{{\mathscr{U}}(E)}\oplus {R}_{{\mathscr{Z}}(E)}\oplus {R}_{{\mathscr{W}}(E)}\end{eqnarray} in drei Komponenten besitzt.

Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind dadurch charakterisiert, daß die \({R}_{{\mathscr{Z}}(E)}\)-Komponente des Riemannschen Krümmungstensors Null ist.

[1] Besse, A.L.: Einstein Manifolds. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1987.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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