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Lexikon der Mathematik: Einsteinsche Summenkonvention

Einsteinsche Summationskonvention, eine Vereinfachung der Formeln beim Rechnen mit Tensoren, vor allem in der Riemannschen Geometrie gebräuchlich.

Das Wesen dieser Vereinfachung besteht im Weglassen der Summenzeichen. Über die Summationsindizes wird generell vereinbart, daß sie von 1 bis zur Dimension n der jeweiligen Mannigfaltigkeit laufen, und daß nur über solche Indizes summiert wird, die zweimal auftreten.

Der Ausdruck \(\text{tr(}A\text{)}={a}_{i}^{i}\) steht z. B. als Abkürzung für die Spur \(\text{tr(}A\text{)}=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{a}_{i}^{i}\) einer quadratischen Matrix \(A=(({a}_{j}^{i})),i,j=1,\ldots, n\).

Sind \({T}_{kl}^{ij}\), Slm und \({R}_{i}^{k}\) die Komponenten von drei Tensoren T, S, R, so wird durch die Gleichung \begin{eqnarray}{W}_{i}^{kjm}={T}_{kl}^{ij}{S}^{lm}{R}_{i}^{k}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\displaystyle \sum _{l=1}^{n}{T}_{kl}^{ij}{S}^{lm}{R}_{i}^{k}\end{eqnarray} ein neuer Tensor W mit den Komponenten \({W}_{i}^{kjm}\) definiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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