unendliche Reihe meromorpher Funktionen der Form \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{k}(z):=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{{(z+n)}^{k}},\end{eqnarray} wobei k ∈ ℕ.

Für k ≥ 2 ist diese Reihe in ℂ normal konvergent und stellt daher eine in ℂ meromorphe Funktion dar. Diese ist in ℂ \ ℤ holomorph und hat an z = n ∈ ℤ eine Polstelle der Ordnung k mit dem Hauptteil (z − n)^−k. Ist k = 1, so ist die Reihe in dieser Form nicht konvergent. Benutzt man jedoch die sog. Eisensteinsummation \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{1}(z)=\displaystyle \sum _{n=-\mathop{\infty }\limits^{e}}^{\infty }\frac{1}{z+n}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{N\to \infty }\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}\frac{1}{z+n},\end{eqnarray} so konvergiert die Reihe normal in ℂ gegen eine in ℂ meromorphe Funktion mit einfachen Polstellen an z = n ∈ ℤ mit Hauptteil (z − n)⁻¹. Es gilt noch \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\varepsilon }_{1}(z) & = & \frac{1}{z}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{z+n}+\frac{1}{z-n}\right)\\ & = & \frac{1}{z}+\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{}^{^{\prime} }\left(\frac{1}{z+n}-\frac{1}{n}\right)\\ & = & \frac{1}{z}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{{z}^{2}-{n}^{2}},\end{array}\end{eqnarray} wobei \({\sum }^{^{\prime} }\) bedeutet, daß der Summand mit n = 0 in der Summe fehlt.

Die Laurent-Entwicklung von ϵ₁ um 0 läßt sich explizit angeben und lautet \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{1}(z)=\frac{1}{z}-\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{q}_{2n}{z}^{2n-1}\end{eqnarray} für 0 < |z| < 1, wobei \begin{eqnarray}{q}_{2n}:=2\zeta (2n)=2\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2n}}.\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet ζ die Riemannsche ζ-Funktion.

Die Funktionen ϵ_k sind alle periodisch mit der Periode 1, und sie erfüllen die Differentialgleichung \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{k}^{^{\prime} }=-k{\varepsilon }_{k+1}.\end{eqnarray}

Hieraus folgt mit vollständiger Induktion nach k \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{k}=\frac{{(-1)}^{k-1}}{(k-1)!}{\varepsilon }_{1}^{(k-1)}.\end{eqnarray}

Ebenfalls mit Induktion ergibt sich dann die Laurent-Entwicklung von ϵ_k um 0 zu \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{k}(z)=\frac{1}{{z}^{k}}+{(-1)}^{k}\displaystyle \sum _{n\ge k/2}\left(\begin{array}{c}2n-1\\ k-1\end{array}\right){q}_{2n}{z}^{2n-k}.\end{eqnarray}

Speziell gilt \begin{array}{l}{\varepsilon }_{2}(z)=\frac{1}{{z}^{2}}+{q}_{2}+3{q}_{4}{z}^{2}+\cdots, \\ {\varepsilon }_{3}(z)=\frac{1}{{z}^{3}}-3{q}_{4}z-10{q}_{6}{z}^{3}-\cdots.\end{array}

Eisenstein hat mit Hilfe der Funktionen ϵ_k die Theorie der trigonometrischen Funktionen entwickelt, also auf eine ganz andere Art als heute üblich. Dabei werden nur die Funktionen ϵ₁,…, ϵ₄ benötigt. Dieser Weg wird im folgenden kurz skizziert. Zunächst gilt das Additionstheorem \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{2}(w){\varepsilon }_{2}(z)-{\varepsilon }_{2}(w){\varepsilon }_{2}(w+z)-{\varepsilon }_{2}(z){\varepsilon }_{2}(w+z)\\ =2{\varepsilon }_{3}(w+z)[{\varepsilon }_{1}(w)+{\varepsilon }_{1}(z)].\end{eqnarray}

Hieraus ergeben sich die Eisensteinschen Grundformeln \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}3{\varepsilon }_{4}(z) & = & {\varepsilon }_{2}^{2}(z)+2{\varepsilon }_{1}(z){\varepsilon }_{3}(z),\\ {\varepsilon }_{2}^{2}(z) & = & {\varepsilon }_{4}(z)+2{q}_{2}{\varepsilon }_{2}(z).\end{array}\end{eqnarray}

Schließlich folgt \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{1}^{2}(z)={\varepsilon }_{2}(z)-3{q}_{2}\end{eqnarray} oder als Differentialgleichung geschrieben \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{1}^{^{\prime} }(z)=-{\varepsilon }_{{}_{1}}^{2}(z)-3{q}_{2}.\end{eqnarray}

Löst man diese Gleichung, so folgt \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{1}(z)=\pi \cot \pi z.\end{eqnarray}

Diese Gleichung erlaubt nun den Aufbau der Theorie der trigonometrischen Funktion allein aus der Eisensteinfunktion ϵ₁. Man definiert π als \(\sqrt{3{q}_{2}}\) und erhebt die Gleichung π cot π z = ϵ₁(z) zur Definition der Cotangensfunktion. Alle weiteren Kreisfunktionen lassen sich jetzt auf ϵ₁ zurückführen.

Wegen \begin{eqnarray}\frac{1}{\sin z}=\frac{1}{2}\left(\cot \frac{z}{2}-\cot \frac{z+\pi }{2}\right)\end{eqnarray} definiert man die Sinusfunktion durch \begin{eqnarray}\frac{\pi }{\sin \pi z}=\frac{1}{2}\left[{\varepsilon }_{1}\left(\frac{z}{2}\right)-{\varepsilon }_{1}\left(\frac{z+\pi }{2}\right)\right].\end{eqnarray}

Schließlich wird wegen \(\cos \pi z=\sin \pi \left(z+\frac{1}{2}\right)\) die Cosinusfunktion durch \begin{eqnarray}\frac{\pi }{\cos \pi z}=\frac{1}{2}\left[{\varepsilon }_{1}\left(\frac{2z+1}{4}\right)-{\varepsilon }_{1}\left(\frac{2z+3}{4}\right)\right]\end{eqnarray} definiert. Auch die Exponentialfunktion läßt sich durch ϵ₁ ausdrücken, nämlich \begin{eqnarray}{e}^{2\pi iz}=\frac{{\varepsilon }_{1}(z)+\pi i}{{\varepsilon }_{1}(z)-\pi i}.\end{eqnarray}

Abschließend seien noch die expliziten Darstellungen \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{2}(z)=\frac{{\pi }^{2}}{{\sin }^{2}\pi z},\space {\varepsilon }_{3}(z)={\pi }^{3}\frac{\cot \pi z}{{\sin }^{2}\pi z}\end{eqnarray} erwähnt.

[1] Freitag, E.; Busam, R.: Funktionentheorie. Springer-Verlag Berlin, 1993.
[2] Remmert, R.: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag Berlin, 1992.