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Lexikon der Mathematik: elementar äquivalente L-Strukturen

L-Strukturen \({\mathscr{A}}\), \({\mathscr{B}}\), die sich durch L-Formeln nicht unterscheiden lassen (symbolisch \({\mathscr{A}}\equiv {\mathcal B} \)).

Ist L beispielsweise die Sprache der Körpertheorie, die durch die nichtlogischen Zeichen +, ·, 0, 1 (Zeichen für die Addition, die Multiplikation, das Nullelement und das Einselement) bestimmt ist, dann sind alle Körper L-Strukturen, und je zwei reell abgeschlossene und je zwei algebraisch abgeschlossene Körper gleicher Charakteristik sind elementar äquivalent bezüglich L. Damit gelten z. B. im Körper der reellen Zahlen die gleichen L-Aussagen wie im Körper der reell-algebraischen Zahlen. Ebenso läßt sich der Körper der komplexen Zahlen nicht vom Körper der algebraischen Zahlen durch L-Aussagen unterscheiden. Mit Hilfe der elementaren Äquivalenz ist die Vollständigkeit eines Axiomensystems ∑ wie folgt charakterisierbar:

ist genau dann vollständig, wenn je zwei Modelle vonelementar äquivalent sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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