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Lexikon der Mathematik: elementare Erweiterung einer L-Struktur

folgende Art der Vergrößerung einer L-Struktur.

Sind \({\mathscr{A}}\), \({\mathscr{B}}\)L-Strukturen und ist \({\mathscr{A}}\) eine Unterstruktur oder Teilstruktur von \({\mathscr{B}}\) und \(L\text{(}{\mathscr{A}}\text{)}\) die Erweiterung der elementaren Sprache L, die aus L dadurch entsteht, daß für jedes Element a der Trägermenge von \({\mathscr{A}}\) ein Individuenzeichen \(\mathop{a}\limits_{\_}\) zu L hinzugenommen wird, dann heißt \({\mathscr{B}}\) elementare Erweiterung von \({\mathscr{A}}\) (und \({\mathscr{A}}\) elementare Unterstuktur von \({\mathscr{B}}\)), wenn für jede L-Formel ϕ(x1, …, xn) und alle Elemente a1, …, an aus der Trägermenge von \({\mathscr{A}}\) gilt: \begin{eqnarray}{\mathscr{A}}\models \varphi ({\mathop{a}\limits_{\_}}_{1},\ldots, {\mathop{a}\limits_{\_}}_{n})\iff {\mathcal B} \models \varphi ({\mathop{a}\limits_{\_}}_{1},\ldots, {\mathop{a}\limits_{\_}}_{n})\end{eqnarray} (symbolisch: \({\mathscr{A}}\preccurlyeq {\mathcal B} \)), d. h., \({\mathscr{A}}\) und \({\mathscr{B}}\) sind bezüglich der erweiterten Sprache \(L({\mathscr{A}})\) elementar äquivalent.

Als geordnete Mengen sind die Strukturen \({\mathscr{A}}:=\langle {\mathbb{N}}\backslash \{0\},\lt \rangle \) und \( {\mathcal B} :=\langle {\mathbb{N}},\lt \rangle \) offenbar isomorph und daher bezüglich der elementaren Sprache für die Ordnung elementar äquivalent. Weiterhin ist \({\mathscr{A}}\subseteq {\mathcal B} \), aber nicht \({\mathscr{A}}\preccurlyeq {\mathcal B} \), denn die Aussage \begin{eqnarray}\varphi :=\exists x(x\lt 1)\end{eqnarray} aus \(L({\mathscr{A}})\) ist in \({\mathscr{B}}\) gültig, jedoch nicht in \({\mathscr{A}}\).

Für abzählbare Sprachen läßt sich mit Hilfe des Endlichkeitssatzes zu jeder algebraischen Struktur mit einer Mächtigkeit \(\kappa \gt {\aleph }_{0}\) und jeder Kardinalzahl \(\kappa ^{\prime} \ge \kappa \) eine elementare Erweiterung \({\mathscr{B}}\) von \({\mathscr{A}}\) finden, deren Mächtigkeit \(\ge \kappa ^{\prime} \) ist. Weiterhin existiert für jede unendliche Kardinalzahl \(\kappa ^{\prime} \le \kappa \) eine elementare Unterstruktur \({\mathscr{C}}\) von \({\mathscr{A}}\), deren Mächtigkeit κ′ ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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