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Lexikon der Mathematik: elementarer Prozeß

manchmal auch Elementarprozeß oder einfacher Prozeß genannt, ein stochastischer Prozeß (Xt)tT mit T = [0, K], K ∈ ℝ+ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) mit Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) in \({\mathfrak{A}}\) derart, daß es reelle Zahlen 0 = t0 < … < tn = K und \({{\mathfrak{A}}}_{{t}_{k}}\)-meßbare reelle Zufallsvariablen ξk, k = 0, …, n so gibt, daß für alle tT und ω ∈ Ω gilt \begin{eqnarray}{X}_{t}(\omega )={\xi }_{0}(\omega ){\chi }_{\{0\}}(t)+\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\xi }_{k-1}(\omega ){\chi }_{[{t}_{k-1},{t}_{k}]}(t).\end{eqnarray}

In der Regel wird noch gefordert, daß die ξk gewisse Regularitätseigenschaften besitzen, wie z. B. \begin{eqnarray}\displaystyle \int |{\xi }_{k}{|}^{2}dP\lt \infty \,\,\,\text{f}{\ddot{u}}\text{r}\,\text{alle}\,k\end{eqnarray} oder auch P-fast sicher \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{0\le k\le n}|{\xi }_{k}|\lt C\end{eqnarray} für eine Konstante C ∈ ℝ+.

Gelegentlich findet man analoge Definitionen elementarer Prozesse, bei denen statt der tk Stoppzeiten Tk mit 0 = T0 ≤ … ≤ Tn < ∞ P-fast sicher und statt der σ-Algebren \({{\mathfrak{A}}}_{{t}_{k}}\) die σ-Algebren \({{\mathfrak{A}}}_{{T}_{k}}\) der Stoppzeiten verwendet werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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