spezielle Form einer symmetrischen Funktion.

Eine Funktion f in n Variablen heißt symmetrisch, wenn sie bei jeder Permutation π dieser Variablen in sich selbst übergeht, das heißt, wenn gilt: \begin{eqnarray}f({x}_{1},\ldots, {x}_{n})=f({x}_{{\pi }_{1}},\ldots, {x}_{{\pi }_{n}}).\end{eqnarray}

Eine Funktion in n Variablen heißt elementarsymmetrisch, wenn sie aus den Summen aller Produkte \begin{eqnarray}{x}_{{k}_{1}}\cdots {x}_{{k}_{i}}\end{eqnarray} mit k₁ < k₂ < ⋯ < k_i besteht. So lautet zum Beispiel die erste elementarsymmetrische Funktion \begin{eqnarray}{s}_{1}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})=\displaystyle \sum _{v=1}^{n}{x}_{v}\end{eqnarray} und die zweite elementarsymmetrische Funktion \begin{eqnarray}{s}_{2}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})=\displaystyle \sum _{v\lt \mu }^{n}{x}_{v}\cdot {x}_{\mu }.\end{eqnarray}

Dagegen besteht die n-te elementarsymmetrische Funktion nur noch aus dem Produkt \begin{eqnarray}{s}_{n}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})={x}_{1}\cdot {x}_{2}\cdots {x}_{n}.\end{eqnarray}

Nach dem Vietaschen Wurzelsatz gibt es einen engen Zusammenhang zwischen den elementarsymmetrischen Funktionen und den Koeffizienten des Polynoms, das die Nullstellen x₁, …, x_n hat.

Nach dem Hauptsatz über symmetrische Funktionen kann man jedes symmetrische Polynom in n Variablen darstellen als Polynom der elementarsymmetrischen Funktionen s₁, …, s_n.