Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: elementarsymmetrische Funktion

spezielle Form einer symmetrischen Funktion.

Eine Funktion f in n Variablen heißt symmetrisch, wenn sie bei jeder Permutation π dieser Variablen in sich selbst übergeht, das heißt, wenn gilt: \begin{eqnarray}f({x}_{1},\ldots, {x}_{n})=f({x}_{{\pi }_{1}},\ldots, {x}_{{\pi }_{n}}).\end{eqnarray}

Eine Funktion in n Variablen heißt elementarsymmetrisch, wenn sie aus den Summen aller Produkte \begin{eqnarray}{x}_{{k}_{1}}\cdots {x}_{{k}_{i}}\end{eqnarray} mit k1 < k2 < ⋯ < ki besteht. So lautet zum Beispiel die erste elementarsymmetrische Funktion \begin{eqnarray}{s}_{1}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})=\displaystyle \sum _{v=1}^{n}{x}_{v}\end{eqnarray} und die zweite elementarsymmetrische Funktion \begin{eqnarray}{s}_{2}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})=\displaystyle \sum _{v\lt \mu }^{n}{x}_{v}\cdot {x}_{\mu }.\end{eqnarray}

Dagegen besteht die n-te elementarsymmetrische Funktion nur noch aus dem Produkt \begin{eqnarray}{s}_{n}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})={x}_{1}\cdot {x}_{2}\cdots {x}_{n}.\end{eqnarray}

Nach dem Vietaschen Wurzelsatz gibt es einen engen Zusammenhang zwischen den elementarsymmetrischen Funktionen und den Koeffizienten des Polynoms, das die Nullstellen x1, …, xn hat.

Nach dem Hauptsatz über symmetrische Funktionen kann man jedes symmetrische Polynom in n Variablen darstellen als Polynom der elementarsymmetrischen Funktionen s1, …, sn.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos