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Lexikon der Mathematik: Elementarteiler

die im folgenden sogenannten Elementarteilersatz auftretenden ganzen Zahlen e1, …, er ∈ ℤ:

Sei A eine (m × n)-Matrix über ℤ. Dann existieren eine (m × m)-Matrix Q überund eine (n × n)-Matrix P−1über ℤ, die Produkte von Elementarmatrizen übersind, welche nur durch Vertauschen zweier Zeilen oder zweier Spalten oder durch Addition eines ganzzahligen Vielfachen einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile bzw. Spalte aus einer Einheitsmatrix entstehen, und so, daß gilt: A′ := QAP−1hat Diagonalgestalt: \begin{eqnarray}A^{\prime} =\left(\begin{array}{llll}{e}_{1} & & & \\ & \ddots & & \\ & & {e}_{r} & \\ & & & 0\end{array}\right);\end{eqnarray}die Diagonalelemente ei, 1 ≤ ir − 1, sind nichtnegativ und haben die Teilbarkeitseigenschaft ei | ei+1. Die Elemente ei sind dabei eindeutig bestimmt.

Anstelle von ℤ kann in diesem Satz auch ein beliebiger euklidischer Ring genommen werden.

Sei A ≠ 0 eine quadratische Matrix über dem Polynomring \({\mathbb{K}}(\lambda )\). Sei r die größte natürliche Zahl so, daß A eine von 0 verschiedene r-reihige Unterdeterminante besitzt. Dann besitzt A für jedes i ∈ {1, …, r} eine von 0 verschiedene i-reihige Unterdeterminante.

pi bezeichne den größten gemeinsamen Teiler aller von 0 verschiedenen i-reihigen Unterdeterminanten von A (1 ≤ ir); dann gilt: Pi teilt Pj für i < j. Durch qi mit \begin{eqnarray}{q}_{i}=\frac{{p}_{i+1}}{{p}_{i}}\end{eqnarray} für i ≠ 1 und q1 = p1 sind dann die Elementarteiler gegeben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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