die im folgenden sogenannten Elementarteilersatz auftretenden ganzen Zahlen e₁, …, e_r ∈ ℤ:

Sei A eine (m × n)-Matrix über ℤ. Dann existieren eine (m × m)-Matrix Q über ℤ und eine (n × n)-Matrix P⁻¹über ℤ, die Produkte von Elementarmatrizen über ℤ sind, welche nur durch Vertauschen zweier Zeilen oder zweier Spalten oder durch Addition eines ganzzahligen Vielfachen einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile bzw. Spalte aus einer Einheitsmatrix entstehen, und so, daß gilt: A′ := QAP⁻¹hat Diagonalgestalt: \begin{eqnarray}A^{\prime} =\left(\begin{array}{llll}{e}_{1} & & & \\ & \ddots & & \\ & & {e}_{r} & \\ & & & 0\end{array}\right);\end{eqnarray}die Diagonalelemente e_i, 1 ≤ i ≤ r − 1, sind nichtnegativ und haben die Teilbarkeitseigenschaft e_i | e_i+1. Die Elemente e_i sind dabei eindeutig bestimmt.

Anstelle von ℤ kann in diesem Satz auch ein beliebiger euklidischer Ring genommen werden.

Sei A ≠ 0 eine quadratische Matrix über dem Polynomring \({\mathbb{K}}(\lambda )\). Sei r die größte natürliche Zahl so, daß A eine von 0 verschiedene r-reihige Unterdeterminante besitzt. Dann besitzt A für jedes i ∈ {1, …, r} eine von 0 verschiedene i-reihige Unterdeterminante.

p_i bezeichne den größten gemeinsamen Teiler aller von 0 verschiedenen i-reihigen Unterdeterminanten von A (1 ≤ i ≤ r); dann gilt: P_i teilt P_j für i < j. Durch q_i mit \begin{eqnarray}{q}_{i}=\frac{{p}_{i+1}}{{p}_{i}}\end{eqnarray} für i ≠ 1 und q₁ = p₁ sind dann die Elementarteiler gegeben.