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Lexikon der Mathematik: Eliminationsverfahren für Differentialgleichungssysteme

Methode, um aus einem Differentialgleichungssystem (erster Ordnung) eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu gewinnen, die unter Umständen einfacher zu lösen ist als das gesamte Differentialgleichungssystem. Eine gefundene Lösung dieser Differentialgleichung wird dann in das ursprüngliche Differentialgleichungssystem eingesetzt, um dieses schließlich zu lösen.

Bei linearen Differentialgleichungssystemen läßt sich diese Methode systematisch einsetzen analog der Lösung eines linearen Gleichungssystems durch den Gaußschen Algorithmus. Wir erläutern die Vorgehensweise an einem Beispiel: Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\dot{x}(t)=-3x(t)-y(t)+t,\end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\dot{y}(t)=x(t)-y(t)+{t}^{2},\end{array}\end{eqnarray}

Durch Ableiten der ersten Differentialgleichung und Einsetzen von \begin{eqnarray}\mathop{x}\limits^{.}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\mathop{y}\limits^{.}\end{eqnarray} erhält man die Differentialgleichung \begin{eqnarray}\ddot{x}(t)+4\dot{x}(t)+4x(t)=1+t-{t}^{2}.\end{eqnarray}

Die Lösung x kann man in (1) einsetzen, um die Lösung y abzulesen.

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner Stuttgart, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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