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Lexikon der Mathematik: Ellipse

Schnittfigur einer Ebene ϵ und eines Doppelkegels K, wobei ϵ nicht durch die Spitze von K verlaufen darf und der Winkel β zwischen ϵ und der Kegelachse größer sein muß als der halbe Öffnungswinkel α des Kegels (Kegelschnitt).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Ellipse
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Die sog. Ortsdefinition der Ellipse lautet: Eine Ellipse ist die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte, für welche die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F1 und F2 gleich einer Konstanten 2a ist (wobei 2a > |F1F2| sein muß). Dabei heißen F1 und F2 Brennpunkte, ihr Abstand |F1F2| lineare Exzentrizität 2e und der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{{F}_{1}{F}_{2}}\) Mittelpunkt der Ellipse. Die längere Achse der Ellipse (die durch die Brennpunkte verläuft) wird als Hauptachse und die dazu senkrechte Achse als Nebenachse bezeichnet. Die Schnittpunkte der Ellipse mit der Hauptachse sind ihre Hauptscheitel, die mit der Nebenachse die Nebenscheitel. Die Hauptachse einer Ellipse hat die Länge 2a, die Länge 2b der Nebenachse ergibt sich aus der Hauptachsenlänge und der linearen Exzen-trizität durch \(b=\sqrt{{a}^{2}-{e}^{2}}\).

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Ellipse
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Die Ortsdefinition steht im Zusammenhang mit einer Konstruktionsmöglichkeit der Ellipse, der sogenannten Gärtnerkonstruktion. Dabei wird an einer Schnur, deren Enden an zwei Pflöcken befe-stigt sind, entlanggezeichnet. Für jeden der dabei gezeichneten Punkte ist die Summe der Abstände von den beiden Pflöcken gerade die Gesamtlänge der Schnur.

Es existieren eine Fülle von Gleichungen in Zusammenhang mit der Ellipse. Allgemein stellt jede Gleichung zweiten Grades einen Kegelschnitt (also eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel bzw. eine Gerade, Doppelgerade oder einen Punkt) dar.

Um geometrisch gut interpretierbare Gleichungen zu erhalten, ist es notwendig, ein geeignetes Koordinatensystem zu wählen (bzw. das vorhandene Koordinatensystem mittels einer Hauptachsentransformation geeignet zu überführen). Wählt man das Koordinatensystem so, daß die x-Achse mit der Hauptachse und die y-Achse mit der Nebenachse zusammenfällt, dann läßt sich eine Ellipse bezüglich dieses Koordinatensystems durch die Mittelpunktsgleichung \begin{eqnarray}\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\end{eqnarray} oder die Parametergleichung \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\cdot \cos t\\ b\cdot \sin t\end{array}\right)\quad\text{mit}\quad0\le t\lt 2\pi \end{eqnarray} darstellen. Verläuft die x-Achse parallel zur Haupt-achse und die y-Achse parallel zur Nebenachse einer Ellipse, und hat der Mittelpunkt dieser Ellipse die Koordinaten M(xM; yM), so wird sie durch eine Gleichung in achsenparalleler Lage beschrieben: \begin{eqnarray}\frac{{(x-{x}_{M})}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{(y-{y}_{M})}^{2}}{{b}^{2}}=1.\end{eqnarray}

Weiterhin gilt, falls die x-Achse mit der Hauptachse und der Koordinatenursprung mit einem Haupt-scheitel der Ellipse zusammenfällt, die Scheitelgleichung der Ellipse: \begin{eqnarray}{y}^{2}=2px-\frac{p}{a}\cdot {x}^{2}\,\text{mit}\,p=\frac{{b}^{2}}{a}.\end{eqnarray} (p heißt Halbparameter der Ellipse.)

Schließlich lassen sich die folgenden Ellipsengleichungen in Polarkoordinaten (r, φ) angeben: \begin{eqnarray}{r}^{2}=\frac{{b}^{2}}{1-{\varepsilon }^{2}\,{\cos }^{2}\phi }\quad\text{und}\quad{r}^{2}=\frac{p}{1+\varepsilon \,\cos \phi },\end{eqnarray} wobei der Koordinatenursprung (Pol) bei der ersten Gleichung dem Mittelpunkt der Ellipse entspricht, und bei der zweiten Gleichung in einen der Brennpunkte gelegt wird. Dabei ist \(\varepsilon :=\frac{e}{a}\) die numerische Exzentrizität der Ellipse.

Das Bild eines jeden Kreises bei einer injektiven affinen Abbildung ist eine Ellipse. So überführt z. B. die affine Abbildung φ der Ebene mit den Abbil-dungsgleichungen \begin{eqnarray}{\phi }_{1}(x)=a\cdot x\,\text{und}\,{\phi }_{2}(y)=b\cdot y\end{eqnarray} den Einheitskreis in eine Ellipse mit der Hauptachsenlänge 2a und der Nebenachsenlänge 2b. Umgekehrt läßt sich jede Ellipse mittels einer geeigneten affinen Abbildung auf einen Kreis abbilden.

Im Sinne der affinen Geometrie besteht zwischen einem Kreis und einer Ellipse überhaupt kein Unterschied, da nur metrische Eigenschaften Kreise als besondere Ellipsen auszeichnen. Die Definition des Kreises als Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt gleiche Abstände haben, beruht auf der Existenz einer Metrik und kann in der affinen Geometrie nicht gegeben werden.

Eine Gleichung für den Flächeninhalt A der Ellipse läßt sich anhand der o. g. Abbildung φ aus der Gleichung für den Kreisflächeninhalt ableiten: \begin{eqnarray}A=a\cdot b\cdot \pi.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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