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Lexikon der Mathematik: elliptische Koordinaten

Koordinaten, die auf konfokalen Flächen bzw. Kegelschnitten beruhen. Eine konfokale Mittelpunktsfläche ist durch die Gleichung \begin{eqnarray}\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-\lambda }+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}-\lambda }+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}-\lambda }=1\end{eqnarray} mit a > b > c gegeben. Man unterscheidet dabei zwischen Ellipsoiden, einschaligen Hyperboloiden, zweischaligen Hyperboloiden und imaginären Flächen. Ist dann P ein Punkt allgemeiner Lage im Raum, so schneiden sich in P bei gegebener Flächenschar ein Ellipsoid, ein einschaliges Hyperboloid und ein zweischaliges Hyperboloid unter jeweils rechten Winkeln. Die zu diesen Flächen gehörenden Werte des Parameters λ werden als die elliptischen Koordinaten des Raumpunktes P bezeichnet.

Befindet man sich dagegen in der Ebene, so sind die grundlegenden Objekte die konfokalen Mittelpunktskegelschnitte, die man mit der Gleichung \begin{eqnarray}\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-\lambda }+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}-\lambda }=1\end{eqnarray} beschreiben kann. Bei gegebener Schar läuft durch jeden Punkt allgemeiner Lage der Ebene eine Ellipse und eine Hyperbel. Die zu diesen Kurven gehörenden Werte des Parameters λ werden als die elliptischen Koordinaten des Punktes P bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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