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Lexikon der Mathematik: elliptisches Integral

ein unbestimmtes Integral der Gestalt \begin{eqnarray}\displaystyle \int R(x,\sqrt{P(x)})dx,\end{eqnarray} wobei R(x, y) eine rationale Funktion in x und y und \begin{eqnarray}P(x)={a}_{4}{x}^{4}+{a}_{3}{x}^{3}+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{1}x+{a}_{0}\end{eqnarray} ein Polynom dritten oder vierten Grades mit lauter verschiedenen Nullstellen ist.

Sind die Koeffizienten a0, …, a4 von P reell, so kann die Berechnung eines elliptischen Integrals mit rein algebraischen Methoden auf die Berechnung von drei kanonischen Typen von Integralen zurückgeführt werden. Dies sind die Legendreschen Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung: \begin{eqnarray}F(\varphi, k)=\displaystyle \underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-{k}^{2}{\sin }^{2}t}},\\ E(\varphi, k)=\displaystyle \underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\sqrt{1-{k}^{2}{\sin }^{2}t}\,dt,\\ {\rm{\Pi }}(\varphi, n,k)=\displaystyle \underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{dt}{(1+n\,{\sin }^{2}t)\sqrt{1-{k}^{2}{\sin }^{2}t}}.\end{eqnarray}

Dabei ist \(0\lt \varphi \lt \frac{\pi }{2}\), 0 < k < 1 und n > −1. Man nennt diese Integrale auch unvollständige elliptische Integrale. Setzt man für die obere Integrationsgrenze \(\varphi =\frac{\pi }{2}\), so heißen sie vollständige elliptische Integrale. Substituiert man x = sin t, so nehmen sie die folgende Form an: \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}\frac{dx}{\sqrt{(1-{x}^{2})(1-{k}^{2}{x}^{2})}},\\ \displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}\sqrt{\frac{1-{k}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}}dx,\\ \displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}\frac{dx}{(1+n{x}^{2})\sqrt{(1-{x}^{2})(1-{k}^{2}{x}^{2})}},\end{eqnarray} wobei ξ = sin ϕ. In der Praxis führt die Berechnung des Umfangs einer Ellipse auf ein elliptisches Integral zweiter Gattung.

Elliptische Integrale erster Gattung stehen in engem Zusammenhang mit elliptischen Funktionen. Dazu betrachtet man das komplexe Integral \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{d\varsigma }{\sqrt{P(d\varsigma )}}\end{eqnarray} mit einem Polynom P der obigen Form. Sein Wert hängt von der Wahl der Wurzel und der Wahl des Integrationsweges von 0 nach z ab. Es gilt aber:

Zu jedem Polynom P dritten oder vierten Grades mit lauter einfachen Nullstellen existiert eine nichtkonstante elliptische Funktion f mit folgender Eigenschaft : Ist D ⊂ ℂ eine offene Menge, auf der f umkehrbar ist, und ist g : f (D) → ℂ die Umkehrfunktion von f, so gilt nach geeigneter Wahl der Wurzel \begin{eqnarray}g^{\prime} (z)=\frac{1}{\sqrt{P(z)}}.\end{eqnarray}

Für D kann man z. B. eine hinreichend kleine Kreisscheibe um einen Punkt a ∈ ℂ, der keine Polstelle von f und keine Nullstelle von f′ ist, nehmen.

Kurz, wenn auch etwas unpräzise, kann man also sagen: Die Umkehrfunktion eines elliptischen Integrals erster Gattung ist eine elliptische Funktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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