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Lexikon der Mathematik: empirische Kovarianzmatrix

konkrete Schätzung der Kovarianzmatrix eines zufälligen Vektors.

Es sei \(\overrightarrow{X}=({X}_{1},\ldots, {X}_{k})\) ein k-dimensionaler zufälliger Vektor und es sei \begin{eqnarray}({\overrightarrow{x}}^{(1)},{\overrightarrow{x}}^{(2)},\ldots, {\overrightarrow{x}}^{(n)})\,\,\mathrm{mit}\,\,{\overrightarrow{x}}^{(i)}=({x}_{1}^{(i)},\ldots, {x}_{k}^{(i)})\end{eqnarray} eine konkrete Stichprobe von \(\overrightarrow{X}\) vom Umfang n. Dann heißt die Matrix \begin{eqnarray}s:=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({\overrightarrow{x}}^{(i)}-\overline{\overrightarrow{x}})}^{T}({\overrightarrow{x}}^{(i)}-\overline{\overrightarrow{x}})\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}\overline{\overrightarrow{x}}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\overrightarrow{x}}^{(i)}\end{eqnarray} die empirische Kovarianzmatrix von \(\overrightarrow{X}\). Die Elemente \begin{eqnarray}{s}_{lm}:=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}({x}_{l}^{(i)}-{\overline{x}}_{l})({x}_{m}^{(i)}-{\overline{x}}_{m}),\end{eqnarray}l, m = 1, …, k, heißen für lm empirische Kovarianzen zwischen den Komponenten Xl und Xm; sll ist die empirische Streuung der Komponente Xl.

Ersetzt man in s die konkrete Stichprobe durch eine mathematische Stichprobe \({\overrightarrow {{X^{(1)}}}},{\overrightarrow {{X^{(2)}}}},\ldots, {\overrightarrow {{X^{(n)}}}}\), so erhält man die Stichprobenkovarianzmatrix \begin{eqnarray}S:=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({\overrightarrow{X}}^{(i)}-\overline{\overrightarrow{X}})}^{T}({\overrightarrow{X}}^{(i)}-\overline{\overrightarrow{X}})\end{eqnarray} mit dem Stichprobenmittel \begin{eqnarray}\overline{\overrightarrow{X}}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\overrightarrow{X}}^{(i)}.\end{eqnarray}

Diese Stichprobenkovarianzmatrix ist eine (elementweise) erwartungstreue Punktschätzung der Kovarianzmatrix von \(\overrightarrow{X}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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