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Lexikon der Mathematik: empirische Streuung

empirische Varianz, der mittlere quadratische Abstand von n Beobachtungen (x1, x2, …, xn) einer Zufallsgröße X vom arithmetischen Mittel: \begin{eqnarray}{s}^{2}=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline{x})}^{2}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}\overline{x}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}.\end{eqnarray}

Die empirische Streuung ist das mit \(\frac{n}{n-1}\) multiplizierte empirische zentrale Moment zweiter Ordnung (empirisches Moment). Handelt es sich um eine mathematische Stichprobe (X1, X2, …, Xn) aus einer Grundgesamtheit, deren zugehörige Verteilung den Erwartungswert μ und die Varianz σ2 besitzt, so ist s2 als Realisierung der Schätzfunktion \begin{eqnarray}{S}^{2}=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline{X})}^{2}\end{eqnarray} ein Schätzwert (Punktschätzung) für σ2.

S2 wird auch als Stichprobenvarianz oder Stichprobenstreuung bezeichnet. Während das zweite zentrale Stichprobenmoment \begin{eqnarray}{S}^{* }:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline{X})}^{2}\end{eqnarray} nicht erwartungstreu für σ2 ist, da gilt \begin{eqnarray}E{S}^{* }=\frac{n-1}{n}{\sigma }^{2},\end{eqnarray} ist S2 eine konsistente Schätzfunktion für die Varianz σ2, d. h. es gilt ES2 = σ2, und die Standardabweichung \(\sqrt{V({S}^{2})}\) strebt für n → ∞ gegen Null.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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