Näherung an die Verteilungsfunktion einer konkreten Stichprobe.

Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F und sei (x₁, x₂, …, x_n) eine konkrete Stichprobe von X vom Umfang n. Unter der empirischen Verteilungsfunktion dieser Stichprobe versteht man die Funktion \begin{eqnarray}{F}_{n}(x)=\frac{{H}_{n}(x)}{n},\,\,x\in {\mathbb{R}},\end{eqnarray} wobei H_n(x) die Anzahl der Werte aus der Stichprobe ist, die kleiner als x sind.

Betrachtet man die mathematische anstelle der konkreten Stichprobe, so erhält man mit \begin{eqnarray}{F}_{n}(x)=\frac{{B}_{n}(x)}{n},\end{eqnarray} wobei B_n(x) die zufällige Anzahl der Stichprobenvariablen ist, die kleiner als x sind, eine erwartungstreue und konsistente Schätzfunktion für F(x).

Speziell gilt für alle x ∈ ℝ: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}E{F}_{n}(x) & = & F(x)\,\,\mathrm{und}\\ V({F}_{n}(x)) & = & \frac{1}{n}F(x)(1-F(x)).\end{array}\end{eqnarray}

Der Satz von Gliwenko (auch als Hauptsatz der Mathematischen Statistik bezeichnet), besagt sogar, daß die Differenz \begin{eqnarray}{D}_{n}:=\mathop{\sup }\limits_{x\in {{\mathbb{R}}}^{1}}|({F}_{n}(x)-F(x))|\end{eqnarray} für n → ∞ mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen 0 konvergiert. Die Größe \({T}_{n}=\sqrt{n}{D}_{n}\) wird als Teststatistik im Kolmogorow-Test zur Verteilungsprüfung verwendet.

Kolmogorow hat gezeigt, daß für eine beliebige stetige Verteilungsfunktion F die Größe T_n gegen die Verteilungsfunktion \begin{eqnarray}K(x):=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }{(-1)}^{i}{e}^{-2{i}^{2}{x}^{2}} & {\text{f}\rm{\ddot{u}}\text{r}}\,x\gt 0\\ 0 & {\text{f}\rm{\ddot{u}}\text{r}}\,x\le 0\end{array}\right.\end{eqnarray} der sogenannten Kolmogorow-Verteilung konvergiert. Die Kolmogorow-Verteilung wird ebenfalls im Kolmogorow-Smirnow-Test verwendet.