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Lexikon der Mathematik: empirisches Quantil

innerhalb der Mathematischen Statistik verwendeter Begriff für eine Größe, die eine geordnete Stichprobe so zerlegt, daß eine gewissen Anzahl der Daten kleiner als sie selbst ist.

Sei X eine Zufallsgröße und sei (x[1], x[2], …, x[n]) eine geordnete konkrete Stichprobe \begin{eqnarray}({x}_{[1]}\le {x}_{[2]}\le \ldots \le {x}_{[n]})\end{eqnarray} von X vom Umfang n.

Unter dem (unteren) empirischen p-Quantil Qp, (0 < p < 1) versteht man die Größe, die die geordnete Stichprobe so zerlegt, daß p * 100% der n Daten kleiner als Qp sind. Sie ist exakt wie folgt definiert: \begin{eqnarray}{Q}_{p}=\left\{\begin{array}{ll}{x}_{[k]} & k=pn\,\text{ist}\,\text{ganzzahlig,}\\ \frac{{x}_{[k]}+{x}_{[k+1]}}{2} & \left\{\begin{array}{l}pn\,\text{ist nicht ganzzahlig,}\\ k\,\text{ist die kleinste auf}\\ pn\,\text{folgende ganze Zahl}\text{.}\end{array}\right.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Speziell werden Q0.5 als empirischer Median und Q0.25 und Q0.75 als unteres bzw. oberes Quartil bezeichnet.

Bei Verwendung der mathematischen anstelle der konkreten Stichprobe erhält man mit Qp eine Schätzfunktion zur Schätzung des theoretischen p-Quantils der Verteilung von X. Man spricht dann vom Stichprobenquantil Qp.

Ist X stetig und liegt nur eine Klasseneinteilung der Daten, aber nicht mehr die Daten selbst vor, so werden die empirischen Quantile unter Verwendung der empirischen Verteilungsfunktion approximiert.

Die empirischen Quantile werden u. a. bei BoxPlots, Q-Q-Plots und P-P-Plots verwendet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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