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Lexikon der Mathematik: endlich-additives Inhaltsproblem

Überbegriff für den im folgenden angerissenen Problemkreis in der Maßtheorie.

Banach (1923) zeigte, daß der Lebesgue-Inhalt auf der Borel-σ-Algebra \( {\mathcal B} ({{\mathbb{R}}}^{n})\) mit n = 1 oder n = 2 auf die Potenzmenge von ℝn fortgesetzt werden kann, Hausdorff (1914), daß dies für n ≥ 3 nicht geht (Banach-Hausdorff-Tarski-Paradoxon), wie auch nicht für das Lebesgue-Maß auf \( {\mathcal B} ({{\mathbb{R}}}^{n})\) mit n ≥ 1, und von Neumann (1929), warum dies so ist. Solovay (1964) zeigte, daß das Auswahlaxiom in der naiven Mengenlehre durch das Axio

Alle Teilmengen vonsind Lebesgue-meßbar ersetzt werden kann, ohne dadurch Widersprüche zu erzeugen. Das Auswahlaxiom ist also notwendig, um in ℝn für n ≥ 1 die Existenz nicht Lebesgue-meßbarer Mengen nachzuweisen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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