Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: endlich erzeugte Garbe

eine analytische Garbe \({\mathscr{S}}\) über einem Bereich B ⊂ ℂn, für die es zu jedem Punkt ζB eine offene Umgebung W (ζ) ⊂ B, eine natürliche Zahl q und einen Garbenepimorphismus \(\phi :{\mathscr{O}}{}^{q}|W\twoheadrightarrow {\mathscr{S}}|W\) gibt. Dabei sei \begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}^{q}:=\mathop{\underbrace{{\mathscr{O}}\oplus \cdots \oplus {\mathscr{O}}}}\limits_{q\text{-}mal}.\end{eqnarray}

Seien ei die Einheitsschnittflachen in \({\mathscr{O}}{}^{q}\) und si : = φ ○ (ei | W) ihre Bilder bezüglich φ. Ist nun \(\sigma \in {{\mathscr{S}}}_{\zeta }\), so kommt σ von einem Element \(({a}_{1},\ldots, {a}_{q})\in {\mathscr{O}}{}^{q}\) her, d. h. \begin{eqnarray}\sigma =\phi ({a}_{1},\ldots, {a}_{q})=\displaystyle \sum _{i=1}^{q}{a}_{i}{s}_{i}(\zeta ).\end{eqnarray}

Die Schnitte s1, …, sq erzeugen also simultan über ganz W den \({{\mathscr{O}}}_{\zeta }\)-Modul \({{\mathscr{S}}}_{\zeta }\).

Ist \({\mathscr{S}}\) analytisch über B, so nennt man die Menge \(Tr({\mathscr{S}}):=\{\zeta \in B:{{\mathscr{S}}}_{\zeta }\ne {0}_{\zeta }\}\) den Trager von \({\mathscr{S}}\) (0ζ bezeichne das Nullelement von \({{\mathscr{S}}}_{\zeta }\)). Ist \({\mathscr{S}}\) endlich erzeugt, so ist \(Tr({\mathscr{S}})\) abgeschlossen in B.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos