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Lexikon der Mathematik: Entropielösung

spezielle schwache Lösung nichtlinearer hyperbolischer Differentialgleichungen, die durch eine sogenannte Entropiebedingung charakterisiert ist.

Die Verwendung des Begriffs Entropie wird durch die physikalische Interpretation solcher Gleichungen nahegelegt, deren Standardtyp in Erhaltungsform \begin{eqnarray}{u}_{t}(t,x)+f{(u(t,x))}_{x}=0\end{eqnarray} lautet und eine zeitliche Massenverteilung auf der x-Achse darstellt. u ist darin die Massendichte, f die Massenstromdichte oder Flußfunktion.

Eine schwache Lösung genügt im Falle einer Anfangsbedingung u(0, x) = u0(x) der Relation \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}({\phi }_{t}u+{\phi }_{x}f(u))dxdt=-\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}\phi (0,x){u}_{0}dx\end{eqnarray} für alle differenzierbaren Testfunktionen φ = φ(t, x) mit beschränktem Träger. Durch diese Relation ist die schwache Lösung allerdings im Falle von Unstetigkeiten nicht mehr eindeutig bestimmt.

Mit den Charakteristiken \begin{eqnarray}(t,{v}_{0}t+{x}_{0}),\,\,{v}_{0}:={f}{^{\prime}}({u}_{0}({x}_{0})),\end{eqnarray} gelangt man zur (physikalisch) sinnvollen Lösung durch Hinzunahme einer Entropiebedingung, die in der einfachsten Form \begin{eqnarray}{f}^{{\prime}}({u}_{l})\gt {v}_{0}\gt {f}^{{\prime}}({u}_{r})\end{eqnarray} lautet, entlang des Sprungs auf der entsprechenden Charakteristik und den dortigen links- und < ?PageNum _59rechtsseitigen Grenzwerten \begin{eqnarray}{u}_{l}:=u(t,x(t)-0)\end{eqnarray} bzw. \begin{eqnarray}{u}_{r}:=u(t,x(t)+0).\end{eqnarray}

Die Bedingung leitet sich aus der physikalischen Überlegung ab, daß nur solche Prozesse möglich sind, bei denen die Entropie nicht abnimmt.

Für die Burger-Gleichung ut + uux = 0 mit der Anfangskurve \begin{eqnarray}u(0,x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\,x\le {x}_{0}\\ 0 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\,x\gt {x}_{0}\end{array}\right.\end{eqnarray} entspricht beispielsweise die Entropiebedingung der Relation \begin{eqnarray}{u}_{r}\gt 1/2\gt {u}_{l}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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