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Lexikon der Mathematik: Entropiemaß unscharfer Mengen

ein von de Luca und Termini 1972 eingeführtes Maß für die Fuzzines einer unscharfen Menge.

Die Entropie \(d(\tilde{A})\) einer Fuzzy-Menge \begin{eqnarray}\tilde{A}=\{(x,{\mu }_{A}(x))|x\in X\}\end{eqnarray} ist definiert als \begin{eqnarray}d(\tilde{A})=H(\tilde{A})+H(C(\tilde{A})).\end{eqnarray}

Für eine endliche Menge X ist \begin{eqnarray}H(\tilde{A})=-K\cdot \displaystyle \sum _{i}{\mu }_{A}({x}_{i})\cdot \mathrm{ln}({\mu }_{A}({x}_{i})),\end{eqnarray} wobei die Summe über alle Elemente xi aus dem Träger supp(\(\tilde{A}\)) gebildet wird.

Ist X überabzählbar, so ist \begin{eqnarray}H(\tilde{A})=-K\cdot \displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{supp}}(\tilde{A})}{\mu }_{A}(x)\cdot \mathrm{ln}({\mu }_{A}(x))\,dx.\end{eqnarray}

Mit der Entropiefunktion \begin{eqnarray}S(x)=-x\cdot \mathrm{ln}\,x-(1-x)\cdot \mathrm{ln}\,(1-x)\end{eqnarray} läßt sich die Entropie einer unscharfen Menge \(\tilde{A}\) schreiben als \begin{eqnarray}H(\tilde{A})=-K\cdot \displaystyle \sum _{i}S({\mu }_{A}({x}_{i}))\end{eqnarray} für eine endliche Menge X, bzw. als \begin{eqnarray}H(\tilde{A})=-K\cdot \displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{supp}}(\tilde{A})}S({\mu }_{A}(x))\,dx\end{eqnarray} für eine überabzählbare Menge X.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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