Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Entwicklung in eine Fourier-Reihe

Darstellung einer Funktion durch ihre Fourier-Reihe.

Der folgende Satz zeigt beispielhaft Voraussetzungen, unter denen eine Funktion mit ihrer Fourier-Reihe übereinstimmt.

Sei f : ℝ ↠ ℝ eine stetige 2π-periodische Funktion, d. h. \begin{eqnarray}f(x+2\pi )=f(x)\end{eqnarray}für x ∈ ℝ. Ferner existiere eine Unterteilung 0 = t0t1 ≤ … ≤ tn = 2π von [0, 2π], so daß \(f{|}_{({t}_{j-1,{t}_{j}})}\)für j = 1, …, n stetig differenzierbar ist.

Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f gleichmäßig gegen f.

Insbesondere besitzt f die Darstellung \begin{eqnarray}f(x)=\frac{{a}_{0}}{2}+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }({a}_{k}\cos kx+{b}_{k}\sin kx)\end{eqnarray}für x ∈ ℝ, mit den reellen Fourier-Koeffizienten ak, bk, k ∈ ℕ.

Unter gleichen Voraussetzungen an eine komplexwertige Funktion f : ℝ ↠ ℂ ergibt sich die Darstellung \begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_{k}{e}^{ikx}\end{eqnarray} für x ∈ ℝ, mit den komplexen Fourier-Koeffizienten ck, k ∈ ℤ.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos