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Lexikon der Mathematik: Entwicklung in eine Sinusreihe

Möglichkeit der Reihenentwicklung einer ungeraden periodischen Funktion.

Ist f : ℝ → ℝ 2π-periodisch mit f(x) = −f(−x), x ∈ ℝ, und läßt sich f in eine Fourier-Reihe entwickeln (Entwicklung in eine Fourier-Reihe), so besitzt f die Darstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)=\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{b}_{k}\sin kx,\end{array}\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{b}_{k}=\frac{2}{\pi }\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(t)\sin ktdt\end{eqnarray} ist.

Anwendung: Sei f : [0, π] ↠ ℝ stetig und in (0, π) differenzierbar. Durch die entsprechende Fortsetzung zu einer ungeraden 2π-periodischen Funktion läßt sich f auf (0, π) in eine Sinus-Reihe entwickeln, d. h. es gilt (1) für x ∈ (0, π).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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