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Lexikon der Mathematik: Entwicklungslemma

wichtige Aussage innerhalb der Funktionentheorie; es lautet:

Es sei γ ⊂ ℂ ein rektifizierbarer Weg, f: γ → ℂ eine stetige Funktion und F: ℂ \ γ → ℂ definiert durch \begin{eqnarray}F(z):=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta.\end{eqnarray}

Dann ist F eine holomorphe Funktion in ℂ \ γ. Ist z0 ∈ ℂ \ γ, so konvergiert die Potenzreihe \({\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}(z-{z}_{0})}^{n}\)mit \begin{eqnarray}{a}_{n}:=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -z)}^{n+1}}d\zeta \end{eqnarray}in jeder offenen Kreisscheibe Br(z0) ⊂ ℂ\γ gegen F. Die Funktion F ist in ℂ\γ unendlich oft komplex differenzierbar, und es gilt für n ∈ ℕ0und z ∈ ℂ\γ \begin{eqnarray}{F}^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -z)}^{n+1}}d\zeta.\end{eqnarray}

Das Entwicklungslemma spielt eine wichtige Rolle beim Beweis des Cauchyschen Entwicklungssatzes.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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