Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Entwicklungslemma

wichtige Aussage innerhalb der Funktionentheorie; es lautet:

Es sei γ ⊂ ℂ ein rektifizierbarer Weg, f: γ → ℂ eine stetige Funktion und F: ℂ \ γ → ℂ definiert durch\begin{eqnarray}F(z):=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta.\end{eqnarray}

Dann ist F eine holomorphe Funktion in ℂ \ γ. Istz0 ∈ ℂ \ γ, so konvergiert die Potenzreihe \({\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}(z-{z}_{0})}^{n}\)mit\begin{eqnarray}{a}_{n}:=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -z)}^{n+1}}d\zeta \end{eqnarray}in jeder offenen KreisscheibeBr(z0) ⊂ ℂ\γ gegen F. Die Funktion F ist in ℂ\γ unendlich oft komplex differenzierbar, und es gilt für n ∈ ℕ0und z ∈ ℂ\γ\begin{eqnarray}{F}^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -z)}^{n+1}}d\zeta.\end{eqnarray}

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.