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Lexikon der Mathematik: Epizykloide

Epitrochoide, Kurve, die ein mit einem Kreis fest verbundener Punkt P beschreibt, der ohne zu gleiten außen auf einem anderen festen Kreis rollt.

Ist r der Radius des rollenden Kreises, a der Abstand des Punktes P zu dessen Mittelpunkt und R der Radius des festen Kreises, so ist eine Parametergleichung der Epizykloide durch \begin{eqnarray}\alpha (t)=\left(\begin{array}{c}(r+R)\,\cos (t)-a\cos \,(t+\frac{Rt}{r})\\ (r+R)\sin (t)-a\sin \,(t+\frac{Rt}{r})\end{array}\right)\end{eqnarray} gegeben.

Man unterscheidet gemeine, verlängerte (verschlungene) und verkürzte (gestreckte) Epizykloiden. Die gemeine Epizykloide ergibt sich für r = a, die verlängerte für r < a, und die verkürzte für r > a.

Ist das Verhältnis R/r eine rationale Zahl, so ist die Epizykloide eine geschlossene Kurve, d. h., es gibt eine Zahl T > 0 derart, daß α(t + T) = α(t) gilt. Verkürzte Epizykloiden sind glatte Kurven, gemeine und verlängerte Epizykloiden haben singuläre Punkte.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Epizykloide
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Gemeine Epizykloide

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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