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Lexikon der Mathematik: Ereignis

zufälliges Ereignis, in der Wahrscheinlichkeitstheorie jedes Element der σ-Algebra eines Wahrscheinlichkeitsraumes \(({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},P)\).

Diese axiomatische Definition eines Ereignisses, die auf eine inhaltliche Interpretation verzichtet, läßt sich folgendermaßen motivieren: Bei der Durchführung von Versuchen mit zufälligem Ausgang interessiert man sich häufig dafür, ob bestimmte, jeweils durch beobachtbare Eigenschaften der Versuchsausgänge eindeutig definierte, sogenannte Ereignisse eintreten. So kann man z. B. beim Würfeln an den Ereignissen A: „gerader Wurf“ oder B: „Wurf größer als drei“ interessiert sein. Ist Ω die Menge aller möglichen Ausgänge eines Versuchs, so wird jedes der interessierenden Ereignisse mit jeweils genau einer Teilmenge von Ω identifiziert, in dem Sinne, daß ein bestimmtes Ereignis genau dann eintritt, wenn der Versuchsausgang ein Element der entsprechenden Menge ist. Setzt man im Beispiel Ω ≔ {1, 2, …, 6}, so tritt das Ereignis A bzw. B genau dann ein, wenn das Wurfergebnis ω Element der (hier wie das Ereignis bezeichneten) Menge A ≔ {2, 4, 6} bzw. B ≔ {4, 5, 6} ist.

Die Menge \({\mathcal{A}}\) aller Ereignisse ist in dieser Betrachtungsweise eine Menge von Teilmengen von Ω. Es ist zweckmäßig anzunehmen, daß Ω selbst ein Ereignis ist und daß für zwei beliebige Ereignisse C, D das gleichzeitige Eintreten von C und D (also der Durchschnitt der Ereignisse C und D) und das Eintreten von C oder D oder C und D (also die Vereinigung der Ereignisse C und D), sowie das Nichteintreten von C (also die Menge Ω\C) wieder Ereignisse sind. Damit ist \({\mathcal{A}}\) eine Mengenalgebra, die Ereignisfeld, Algebra der Ereignisse oder Ereignisalgebra genannt wird.

Zur quantitativen Beschreibung der Zufälligkeit des Eintretens von Ereignissen wird jedem Element A des Ereignisfeldes \({\mathcal{A}}\) eine reelle Zahl P(A) ∈ [0, 1] < ?PageNum _68zugeordnet, so daß P(Ω) = 1 und P(CD) = P(C) + P(D) für \(C,D\in{\mathcal{A}}\) mit CD = θ gilt. Man nennt P(A) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, und ein Ereignisfeld \({\mathcal{A}}\) versehen mit einer Wahrscheinlichkeit P heißt Wahrscheinlichkeitsalgebra. Die Untersuchung von Versuchen mit unendlich vielen zufälligen Ausgängen führt schließlich zum Begriff des Wahrscheinlichkeitsraumes und damit zu dem des Ereignisses gemäß der eingangs gegebenen Definition.

Die aus der anschaulichen Interpretation des Begriffs „Ereignis“ stammenden Sprechweisen werden zum Teil auch in der axiomatisch begründeten Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet. Neben den bereits genannten (z. B. „ein Ereignis \(A\in{\mathcal{A}}\) tritt ein“ bedeutet „ωA“) sind folgende Bezeichnungen üblich, wobei \(\text{(}{\rm{\Omega }}\text{,}\,{\mathcal{A}}\text{,}\,P\text{)}\) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist: Die Menge Ω wird als sicheres Ereignis und die leere Menge ∅ als unmögliches Ereignis bezeichnet. Entsprechend heißt \(A\in {\mathcal{A}}\) fast sicheres Ereignis bzw. fast unmögliches Ereignis, falls P(A) = 1 bzw. P(A) = 0 ist.

Es seien \(A,B\in{\mathcal{A}}\) zwei Ereignisse. Ist AB = ∅, so nennt man A und B unvereinbare Ereignisse oder disjunkte Ereignisse und die Vereinigung AB wird dann auch als Summe A + B der Ereignisse A und B bezeichnet. Die Differenz A \ B der Ereignisse A und B nennt man auch „das Eintreten von A, aber nicht von B“. Das Eintreten von Ω, aber nicht von A, also die Menge Ω\A, wird das zu A komplementäre Ereignis oder auch „Nichteintreten von A“ genannt.

Unter der symmetrischen Differenz der Ereignisse A und B versteht man „das Eintreten von A oder B, aber nicht von A und B“, also die symmetrische Differenz (AB) \ (AB) der Mengen A und B.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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