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Lexikon der Mathematik: Ergodeneigenschaft

die Eigenschaft einer stationären Markow-Kette, daß die Grenzwerte \begin{eqnarray}{p}_{j}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{p}_{ij}^{(n)}\end{eqnarray} der Übergangswahrscheinlichkeiten vom Zustand i in den Zustand j in n Schritten für alle j unabhängig von i existieren, positiv sind und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bilden, also Σjpj = 1 erfüllen.

< ?PageNum _69Die durch die Familie (pj) definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt dann ergodische Verteilung.

Die Ergodeneigenschaft besagt im wesentlichen, daß sich die Kette, nachdem einige Zeit vergangen ist, unabhängig von ihrer Anfangsverteilung ungefähr mit Wahrscheinlichkeit pj im Zustand j befindet.

Eine stationäre Markow-Kette mit endlichem Zustandsraum, etwa {1, …, N}, besitzt die Ergodeneigenschaft, wenn es eine ganze Zahl v ≥ 1 und eine nicht-leere Menge J ⊆ {1, …, N} derart gibt, daß \begin{eqnarray}\mathop{\min }\limits_{\begin{array}{c}1\le j\le N\\ j\in J\end{array}}{p}_{ij}^{(v)}\gt 0.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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