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Lexikon der Mathematik: Ergodentheorie auf Julia-Mengen

dient zur Beschreibung der Dynamik der Folge (fn) der Iterierten einer rationalen Funktion f auf der Julia-Menge \({\mathcal{J}}(f)\).

Es sei (X, μ) ein Maßraum und T: XX eine μ-meßbare Abbildung. Setzt man \begin{eqnarray}{\mu }_{T}(A):=\mu ({T}^{-1}(A))\end{eqnarray} für jede μ-meßbare Menge AX, so wird hierdurch ein Maß μT auf X definiert. Man nennt μ T-invariant, falls μT = μ gilt.

Das Maß μ heißt T-quasi-invariant, falls μT und μ äquivalent sind, d. h. es gilt μT(A) = 0 genau dann, wenn μ(A) = 0. Ist μ T-quasi-invariant, so heißt T ergodisch bezüglich μ, falls für alle μ-meßbaren Mengen AX mit T−1(A) = A gilt: μ(A) = 0 oder μ(A) = 1.

Ist \(f:\hat{{\mathbb{C}}}\to\hat{{\mathbb{C}}}\) eine rationale Funktion vom Grad d ≥ 2 und σ das normalisierte Lebesgue-Maß auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\), d. h. \(\sigma (\hat{{\mathbb{C}}})=1\), so ist σ f-quasi-invariant.

Für die Julia-Menge von f gilt \({\mathcal{J}}(f)=\hat{{\mathbb{C}}}\) genau dann, wenn f ergodisch bezüglich σ ist.

Für d ∈ ℕ, d ≥ 2 sei \({\mathcal{R}}^{d}\) die Menge aller rationalen Funktionen vom Grad d. Die Menge \({\mathcal{R}}^{d}\) kann als Teilmenge von ℂ2d+2 aufgefaßt werden. Bezeichnet \({\mathcal E}^{d}\) die Menge aller f ∈ \({\mathcal{R}}^{d}\) mit \({\mathcal{J}}(f)=\hat{{\mathbb{C}}}\) und λd das (2d + 2)-dimensionale Lebesgue-Maß auf ℂ2d+2, so gilt \begin{eqnarray}{\lambda }_{d}({\varepsilon }^{d})\gt 0.\end{eqnarray}

Es sei f eine rationale Funktion vom Grad d ≥ 2 und \({\mathcal E}{(f)}\) die Menge aller \({z}_{0}\in \hat{{\mathbb{C}}}\) derart, daß \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}\{\zeta \in \hat{{\mathbb{C}}}:{f}^{n}(\zeta )={z}_{0}\}\end{eqnarray} eine endliche Menge ist. Die Menge \({\mathcal E}{(f)}\) enthält höchstens zwei Elemente. Ist z. B. f ein Polynom, so ist ∞ ∈ \({\mathcal E}{(f)}\), und für f(z) = zd gilt \({\mathcal E}{(f)}\) = {0, ∞}. Für \(a\in\hat{{\mathbb{C}}}\) und n ∈ ℕ sei \begin{eqnarray}{\mu }_{n}^{a}:=\frac{1}{{d}^{n}}\displaystyle \sum _{{f}^{n}(z)=a}{\delta }_{z}.\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet δz das Diracsche δ-Maß, das im Punkt \(z\in\hat{{\mathbb{C}}}\) konzentriert ist, d. h. für \(E\in\hat{{\mathbb{C}}}\) gilt δz(E) = 1, falls zE, und δz(E) = 0, falls z ∉ E. Summiert wird über alle \(z\in\hat{{\mathbb{C}}}\) mit fn(z) = a, wobei die Vielfachheit der a-Stelle z zu berücksichtigen ist. Dann ist \({\mu }_{n}^{a}\) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\).

Es existiert ein nur von f abhängiges Wahrscheinlichkeitsmaß μf auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\) derart, daß die Folge \(({\mu }_{n}^{a})\) für jedes \(a\in\bar{{\mathbb{C}}}\backslash {\mathcal E} \text{(}f\text{)}\) schwach gegen μf konvergiert für n → ∞. Schwache Konvergenz bedeutet dabei, daß für jede Borel-Menge \(E\subset\hat{{\mathbb{C}}}\) mit μf(∂E) = 0 gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{\mu }_{n}^{a}(E)={\mu }_{f}(E).\end{eqnarray}

Für den Träger von μf gilt supp \({\mu }_{f}={\mathcal{J}}\text{(}f\text{)}\). Dabei ist supp μf die Menge aller \(z\in\hat{{\mathbb{C}}}\) derart, daß für jede offene Umgebung U von z gilt μf (U) > 0. Für jedes < ?PageNum _70\(z\in\hat{{\mathbb{C}}}\) gilt μf ({z}) = 0. Weiterhin sind μf und σ singulär zueinander, d. h. es existiert eine σ-meßbare Menge \(A\subset\hat{{\mathbb{C}}}\) mit σ(A) = 0 und \({\mu }_{f}(\hat{{\mathbb{C}}}\backslash A)=0\) Ist f ein Polynom, so ist μf das sog. Equilibrium-Maß auf \({\mathcal{J}}\text{(}f\text{)}\). Schließlich ist μf f-invariant und f ergodisch bezüglich μ.

Aus dem sog. Ergodensatz von Birkhoff erhält man als Folgerung: Ist \(A\subset \hat{{\mathbb{C}}}\) eine μf-meßbare Menge und bezeichnet \({\chi }_{A}:\hat{{\mathbb{C}}}\to\{0,1\}\) die charakteristische Funktion von A, d.h. χA(z) = 1, falls zA und χA(z) = 0, falls zA, so gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\chi }_{A}({f}^{k}(z))={\mu }_{f}(A)\end{eqnarray} für μf-fast alle \(z\in\hat{{\mathbb{C}}}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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