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Lexikon der Mathematik: Erhaltungssätze

im allgemeinen ein Überbegriff für alle Arten von Aussagen darüber, daß eine bestimmte (physikalische) Größe konstant ist, also „erhalten“ bleibt. Meist verwendet man den Begriff als Sammelbezeichnung für Energiesatz, Impulssatz und Drehimpulssatz (Energieerhaltungssatz).

Die nach Emmy Noether benannten sog. Noetherschen Sätze geben eine Beziehung zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen: Jede in einem System enthaltene Symmetrie erzeugt einen Erhaltungssatz der zugehörigen physikalische Größe. Die Kenntnis von Erhaltungssätzen vereinfacht die Bestimmung des Verlaufs eines physikalischen Prozesses oft erheblich.

Das wichtigste und bekannteste Beispiel für einen Erhaltungssatz ist der Energie(erhaltungs)satz: Wenn ein abgeschlossenes System invariant gegenüber Zeittranslationen ist, dann ist die Energie des Systems eine Konstante. Mathematisch zeigt sich die Invarianz gegenüber Zeittranslationen darin, daß in den unterliegenden physikalischen Gesetzen stets nur Zeitdifferenzen (z.T. explizit, z.T. implizit in Form von zeitlichen Ableitungen) auftreten. Historisch war der Energiesatz besonders dadurch von Bedeutung, als mit ihm die Unmöglichkeit eines „perpetuum mobile“, also eines Geräts, das ständig sich zu bewegen in der Lage ist, bewiesen wurde.

Analog ergeben sich die anderen klassischen Erhaltungssätze: Translationsinvarianz in räumlicher x-Richtung ergibt die x-Komponente des Impulssatzes, Rotationssymmetrie entspricht dem Drehimpuls. Hieraus ergibt sich sofort: In einer Theorie, in der die Annahme gemacht wird, daß bestimmte Naturkonstanten (z. B. die Gravitationskonstante) eben nicht ganz konstant sind, sondern sich im Laufe der kosmischen Entwicklung ändern können, braucht der Energiesatz nicht mehr im strengen Sinne zu gelten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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