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Lexikon der Mathematik: Erneuerungsproblem

ein meist innerhalb der Erneuerungstheorie behandelter Typus von Problemen.

Ein typisches Erneuerungsproblem ist etwa das folgende: Sei T1, T2, … eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit Werten in ℕ. Ti ist beispielsweise die Lebensdauer einer Glühbirne, die, nachdem sie durchgebrannt ist, durch eine weitere Glühbirne mit der Lebensdauer Ti+1 ersetzt wird usw.. Die k-te Glühbirne muß dann genau zum Zeitpunkt T1 + … + Tk erneuert werden. Ist allgemein fm = P(Ti = m) und \begin{eqnarray}{u}_{n}=P(\exists k\ge 0\,\,\text{mit}\,\,\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{T}_{i}=n),\,\,{u}_{0}:=1,\end{eqnarray} so ist \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{u}_{n}=\displaystyle \sum _{m=1}^{n}P({T}_{1}=m,\,\exists k\ge 1\,\,\text{mit}\,\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{T}_{i}=n)=\cdots =\displaystyle \sum _{m=1}^{n}{f}_{m}{u}_{n-m}\end{array}\end{eqnarray}< ?PageNum _74eine sogenannte Erneuerungsgleichung. In dem Beispiel der Lebensdauer von Glühbirnen ist un gerade die Wahrscheinlichkeit, daß im Zeitpunkt n eine Erneuerung stattfindet. Im stetigen Fall tritt anstelle der Gleichung (1) eine Integralgleichung vom Faltungstyp \begin{eqnarray}u(t)=a(t)=\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}u(t-\tau )p(\tau )d\tau \end{eqnarray} auf.

Erneuerungsprobleme und Erneuerungsgleichungen werden auch bei Schadenzählprozessen in der Ruintheorie verwendet.

[1] Feller, W.: An Introduction to Probability Theory and Its Applications Vol.II, Kapitel XI. Wiley New York, 1966.
[2] Gerber, H.: An Introduction to Mathematical Risk Theory, Kapitel 8. Philadelphia, 1979.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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