die die innere Geometrie einer Fläche \( {\mathcal F} \space \subset \space {{\mathbb{R}}}^{3}\) bestimmende differentielle Invariante.

Invariant und begrifflich einfach wird die erste Gaußsche Fundamentalform als Einschränkung des gewöhnlichen Skalarpoduktes von ℝ³ auf die Tangentialräume \({T}_{P}( {\mathcal F} )\) definiert. Sie ist also die Einschränkung der Riemannschen Metrik von ℝ³ auf \( {\mathcal F} \).

Die aus einer Parameterdarstellung Φ(u, v) von \( {\mathcal F} \) gewonnene Matrix \begin{eqnarray}\text{I}(\text{u,}\space \text{v}):=\left (\begin{array}{ll}E(u,v) & F(u,v)\\ F(u,v) & G(u,v)\end{array}\right)\end{eqnarray} liefert eine analytische Beschreibung der ersten Gaußschen Fundamentalform.

Die Koeffizienten der ersten Gaußschen Fundamentalform sind durch \begin{eqnarray}E={{\rm{\Phi }}}_{u}\cdot {{\rm{\Phi }}}_{u},\quad F={{\rm{\Phi }}}_{u}\cdot {{\rm{\Phi }}}_{v},\quad G={{\rm{\Phi }}}_{v}\cdot {{\rm{\Phi }}}_{v}\end{eqnarray} definiert.